[微積] Cos[Cos[Cos...[Cos[x]...]]]]=?

看板Math作者 (forcing to A cup)時間14年前 (2011/12/18 01:38), 編輯推噓7(7推 0噓 19→)
留言26則, 6人參與, 最新討論串1/3 (看更多)
若有無限個Cos lim Cos[Cos[Cos[......Cos[x]]...]]]]] = ? x->oo 一開始直覺是會被夾在1裡面... 但後來發現好像不是這麼回事 拆開來看 -1<=Cos[x]<=1 令 -1<=k<=1 取Cos 由於Cos在-1~1之間值一樣 使得 Cos[-1]<=Cos[k]<=Cos[1] 0.54<=Cos[k]<=0.54 Cos[k]=0.54 最後Cos[Cos[k]]=0.85 Cos[Cos[Cos[k]]]=0.703 即是求Cos[Cos[Cos[...[Cos[k]]]....]=? 則令Cos[Cos[Cos[...]]]]=y 使得 Cos[y]=y 解之y=0.73 到底...這個東西真的收斂到0.73嗎? 我用軟體跑是這樣沒錯 但好像怪怪的... 補個圖 http://ppt.cc/I1L2 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.134.252.177 ※ 編輯: harry901 來自: 220.134.252.177 (12/18 01:55)
推
12/18 02:34, , 1F
這個解就是 x = cosx
12/18 02:34, 1F
推
12/18 02:39, , 2F
12/18 02:39, 2F
→
12/18 02:39, , 3F
在圖上同時畫出y=cosx和y=x 範圍x=0~π 可以看出不管
12/18 02:39, 3F
→
12/18 02:40, , 4F
x的起始值是多少 經過多次cos後都會趨近到0.73那個點
12/18 02:40, 4F
→
12/18 02:45, , 5F
為什麼這個解就是 x= cosx ?
12/18 02:45, 5F
→
12/18 03:03, , 6F
設極限為L a_0=x a_(n+1)=cos(a_n) 則L=lim a_(n+1)
12/18 03:03, 6F
→
12/18 03:03, , 7F
=lim cos(a_n)=cos(lim a_n)=cos(L) 當然你要先說明
12/18 03:03, 7F
→
12/18 03:03, , 8F
極限存在
12/18 03:03, 8F
推
12/18 03:06, , 9F
上面同意~ 問題就在極限存在， lim x->infinty cosx
12/18 03:06, 9F
→
12/18 03:06, , 10F
極限有存在嗎?
12/18 03:06, 10F
推
12/18 03:09, , 11F
還是說 可以把它視為 0~2π的任意數~ 又你說的不論起
12/18 03:09, 11F
→
12/18 03:10, , 12F
始值，所以可以得到收斂? 謝謝開示~
12/18 03:10, 12F
推
12/18 03:40, , 13F
真是有趣的問題@@
12/18 03:40, 13F
推
12/18 04:04, , 14F
這個問題最麻煩的地方是極限的存在的證明
12/18 04:04, 14F
→
12/18 04:09, , 15F
畫個圖很容易看出來就是了 這算是動態系統入門
12/18 04:09, 15F
→
12/18 04:11, , 16F
因為不管x是什麼 被cos作用兩次後一定會落到[0,1]中
12/18 04:11, 16F
→
12/18 04:12, , 17F
所以上面那個圖其實可以把x範圍限定到[0,1]
12/18 04:12, 17F
→
12/18 04:12, , 18F
然後在x軸上挑一個[0,1]中的初始值 往上畫直線撞到
12/18 04:12, 18F
→
12/18 04:13, , 19F
y=cosx的圖 再往水平方向畫橫線撞到y=x的圖 接著再次
12/18 04:13, 19F
→
12/18 04:15, , 20F
往垂值方向去撞y=cosx 重複此步奏能發現畫出來的線會
12/18 04:15, 20F
→
12/18 04:15, , 21F
轉到y=cosx和y=x的交點 而那些撞到的點的x值就正好是
12/18 04:15, 21F
→
12/18 04:16, , 22F
x_0(初始值) cos(x_0) cos(cos(x_0)) ...
12/18 04:16, 22F
推
12/18 04:21, , 23F
嗯嗯~ 看圖感覺是收斂了~感謝~ 不過有沒有證明?
12/18 04:21, 23F
→
12/18 04:32, , 24F
不等式不能-1<=k<=1 取Cos吧 k取0的話 cosk=1
12/18 04:32, 24F
→
12/18 04:33, , 25F
所以第二步應該是 0.54<=cosk<=1
12/18 04:33, 25F
→
12/18 04:47, , 26F
接下來範圍會不斷震盪~逼近0.73
12/18 04:47, 26F
‣ 更多 harry901 的文章
文章代碼(AID): #1ExDEQMB (Math)
‣ 更多 harry901 的文章
文章代碼(AID): #1ExDEQMB (Math)