Re: [分析] Lipschitz Condition
※ 引述《wickeday (WickeDay)》之銘言：
: ※ 引述《playmypig (玩我豬)》之銘言：
: : 假設f(x)在[a,+inf)區間符合Lipschitz Condition,試證f(x)/x也在這區間中一致連續.
: : 我的想法是設u,v在[a,+inf),然後再想∣f(u)/u-f(v)/v∣,然後想把這個東西少於epsilon.
: : 但我不知道怎樣運用f(x)是Lipschitz Condition的條件.請各位給予一些提示好嗎?謝謝.
: Suppose a>0. For x>y>a,
: |f(x)-f(y)| <= M|x-y|
: |f(x)/x-f(y)/y| <= |f(x)/x-f(y)/x|+|f(y)/x-f(y)/y|
: <= M|x-y|/|x|+|f(y)||x-y||xy|
: <= (M/a+|f(y)|/a^2)|x-y|
: (f is bounded since f satisfies Lipschitz condition.)
f 不見得是 bounded,
如 f(x)=x 滿足 Lipschitz condition, 但非 bounded on [a,+inf)
不過 |f(y)|/|y| 是 bounded on [a,+inf)
所以證明只要小改一下就行了
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