Re: [中學] 拉格朗日相關的題目(高中段考)

看板Math作者oldblackwang (老王)時間14年前 (2011/12/05 21:17)推噓0(0推 0噓 4→)

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※ 引述《eric314 (愛睏)》之銘言： : 若 A1,A2,...,An 為n個相異實數， : B1,B2,...,Bn亦為為n個相異實數且n大於等於2， : 試證以下等號成立:(英文小寫為下標) : n : n Π (Ak+Bi) : Σ i=1 : k=1 -------------------- = : n : Π (Ak-Ai) : i=\=k : 1=<i=<n : n : n Π (Bk+Ai) : Σ i=1 : k=1 -------------------- : n : Π (Bk-Bi) : i=\=k : 1=<i=<n 考慮多項式f(x)=(x+B1)(x+B2)...(x+Bn) 假設另一多項式g(x)滿足g(Ai)=f(Ai) for i=1~n 那麼利用lagrange插值多項式可以假設 Π (x-Ai) n i≠k g(x)= Σ f(Ak)×------------ k=1 Π (Ak-Ai) i≠k 那麼會有f(Ai)-g(Ai)=0 for i=1~n 但是deg(f)=n，deg(g)=n-1 所以deg(f-g)=n且首項係數為1 於是f(x)-g(x)=(x-A1)(x-A2)...(x-An) 比較x^(n-1)次項的係數可以得到欲證之式前面就等於 A1+A2+...+An+B1+B2+...+Bn 同樣的方法假設h(x)=(x+A1)(x+A2)...(x+An) 以及k(x)滿足k(Bi)=h(Bi) for i=1~n 就可以得到欲證之式的後面也等於 A1+A2+...+An+B1+B2+...+Bn 故得證 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.162.63.176

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oldblackwang

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oldblackwang

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suhorng

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