Re: [工數] Nonlinear Equation一題
※ 引述《EZ0928 (傲熊)》之銘言：
: y''+(y')^2+1=0
: solve the given differential equation by using u=y'
Using chain rule:
du du dy du
y'' = ---- = ---- ---- = u ----
dt dy dt dy
du 2
=> u ---- + u + 1 = 0
dy
2u
=> -------- du = - 2 dy
2
(u + 1)
2 2
=> ln(u + 1) = - 2y + ln C
2 2 -2y
=> u = C e - 1
dy 2 -2y 1/2
=> u = ---- = (C e - 1)
dt
y
e
=> ------------- dy = dt
2 2y 1/2
(C - e )
y y
Let v = e => dv = e dy
dv
=> ------------ = dt
2 2 1/2
(C - v )
-1 v
=> sin --- = t + D
C
y
v = e
y
So, e = C sin(t+D)
當然可能前面要加正負號(剛才去平方根只有取正的)
其實形如 f(y'',y',y) = 0 的微分方程都是固定這樣做(令u=y')
關鍵是用chain rule去把y當成微方的independent variable
du
=> f(y'',y',y) = f(u----,u,y) = 0 變為一階
dy
f(y'',y',t) = 0 也是 令u=y'
只是這個比較簡單
直接將u對t微分就可
=>f(y'',y',t) = f(u',u,t) = 0 變為一階
這兩個都是 Reducible Second-Order Differential Equation
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推
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