Re: [線代] 有關兩行空間 交集為{0}
※ 引述《bookticket ()》之銘言：
: 假定P,Q為兩實數矩陣,皆為n by n
: 且PQ=QP=0 (此0表示 n by n 的零矩陣)
: P+Q=In (In表示n by n 的單位矩陣)
: 則 C(P)∩C(Q)= {0} .......(1)
: n
: C(P) + C(Q) = R .......(2)
: (2)式我會證
: (1)不知可否提示怎麼證呢 感謝m(_ _)m
For v in C(P)∩C(Q), there exists some x,y\in R^n such that v=Px=Qy.
Since P+Q = I_n, Px+Qx = x.
兩邊同乘 P, P^2x+PQx = Px = v
= P^2 x
= P(Px) = P(Qy)=0
QED
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btw，這題的意義即是要證如果 PQ=QP=0，P+Q=I_n的話，
R^n則可寫成 Im(P)和Im(Q)的direct sum.
同樣的概念，在環上，有一個類似的東西：
Let R be a ring with an idempotent e.
_
Then R = eR (+) (1-e)R .
R R R
證明操作概念都一樣，只是符號做一些適當的修改即可。
Note that if $R$ has 1, then for an idempotent, e(1-e)=0 and e+(1-e)=1.
關鍵點是在於 e是一個idempotent，即 e^2=e 這個性質上。
事實上，類似地，你這個例子中，
PQ=0, P+Q=I_n => P(P+Q) = P(I_n) = P
=P^2
(其實就是上段的那個式子，直接從矩陣看，不用 P^2x,Px 看而已。）
可以得到 P^2=P，即P是一個 n by n 矩陣環的idempotent.
再從這邊來看，可以提及有一個線性上的基本的性質是這樣的：
_
如果 P=P^2 的話，可以證出 V = Im(P) (+) Ker(P).
（這裡，P是一個V上的線性映射，當然，一個線性映射可以對應到一個矩陣。）
操作上是都不太難，就乘一乘，弄一弄就出來了。
但這些本質上都是共通的事情，最好弄懂這些關係，會比較有sense。
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※ 編輯: Eeon 來自: 182.235.189.13 (12/04 04:29)
推
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