Re: 一題證明
※ 引述《berberryQ (267/342)》之銘言：
: Let f(x)= a x^n + a x^(n-1)+ +a x + a 不等於零
: n n-1 1 0
: Prve that exist y belongs to (0, pi/2),
: such that f(cos y)= a + (1/2)a + ....+ (1/n+1)a
: 0 1 n
: 不太清楚要怎麼解 希望大家指點~
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早上時頭腦鈍鈍的XD,現在有空來打一下
x 1 1 1
考慮Q(x)= ∫ f(t)dt= a0 X + ---a1 X^2 + ---- a2 X^3+......+ ---- an X^n
0 2 3 n+1
顯然地,Q(0)=0
a1 a2 an
而且 Q(1)= a0 + ---- + ----- + ..... + -----
2 3 n+1
Q(1)-Q(0)
由Mean Vaiue Thm知:在(0,1)區間內, 必存在一數c,使得Q'(c)= --------
又由微積分基本定理:Q'(c)=f(c)= Q(1) 1-0
-1
又 0 < c < 1 => 1 > y= cos c > pi/2
故 存在一數 y= arccos(c) 在 (0,pi/2)區間 ,
a1 a2 an
使得 Q'(c)=f(c)=f(cosy) = a0 + ----- + ----- +...... + ----- 得證
2 3 n+1
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.120.31.181
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12/01 15:07, , 1F
12/01 15:07, 1F
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