Re: [其他] topology與text topology

看板Math作者xcycl (XOO)時間12年前 (2011/11/24 06:57)推噓10(10推 0噓 4→)

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※ 引述《TassTW (塔矢)》之銘言： : 拓樸這個字常常造成大家的困擾, : 我不是唸拓樸的, 不過我可以就我準備資格考的低等觀點來說一下我對這名字的認識, : 藉此拋磚引玉希望高人指正 : 1. topology 原意 : (0) [非數學] 描述物質/物件/網路/地區的組態/關聯的名詞 : (1) [數學] 一般拓樸學 (介紹可見拙作 http://goo.gl/3X8dp ) : (2) [數學] 一個拓樸空間 X 所攜帶的 " X 的子集的 collection " : 恰好代表 X 中的 open subsets : 但是隨著一般拓樸學逐漸完備, 現今我們說拓樸學家 : 多半是指代數/微分拓樸學家, : 代數拓樸學家關心 homeomophic/homotopic 不變量 : 而代數拓樸的第一門課會花許多時間探討這些不變量的計算 : (關於計算面, 我參照 Hatcher 寫了一些低等的心得 http://goo.gl/zMZ4u ) : 微分拓樸學家(通常也是幾何學家)關心各種流形及其結構 : 這部份我不會, 有請其他人補充... : 2. topology 的引伸 : 因應 topology 的性質特殊 : 有許多本質不是 topology 的學門, 模仿拓樸學的方法自創武功, 出現了山寨版 : (a) : 比方說, 我有個唸計算機科學/邏輯的朋友 : 正在讀 homotopy type theory : 是把邏輯中的 type theory 藉由 homotopy theory 的樣貌重生 : 因為他還沒有看得很懂, 所以我也不懂細節 (xD) : 不過我聽他的說法, 裡面做的事情是把 : 1) "證明" 想做空間中的點 : 2) "證明等價" 想做連接點的 "path" : 然後計算這個空間的 (higher) homotopy groups : 聽起來怪嚇人一把的! : 但是眼尖的版友可能注意到了, 要定 "path", 就要定連續 : 要定連續, 就要定這個 "證明空間" 的 topology : 那究竟是什麼呢? 他也還沒看到 (xD), 且待下回分曉.... 不需要 ... 這邊講的 homotopy 都是範疇化的概念，homotopy type theory 把 Martin-Lof type theory 用 Quillen model category (1) 來描述，對所有的 model category 都有 sound and complete 的詮釋。 Categorical semantics 做的事情都很類似，像是 simple type theory 在任何 Cartesian closed category C 都可以詮釋，將 type A 對應 C 的 object "A", product type of A, B 對應到 product object "A" x "B" of "A" and "B" 以此推類。對於拓樸的 homotopy category(2) 滿足 Quillen model theory 的公設，所以可以將 Martin-Lof type theory 詮釋在 homotopy category，但不限於 homotopy category。 (1) 定義在 http://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Model+categories 找得到 (2) homotopy category 由 topological spaces 作為 object， X 到 Y 的 morphism 則是由 X 到 Y 的連續函數的 homotopy class。聽過幾次演講而已，現學現賣但也有可能講錯 ... : 3. 和數學的 topology 無關的其他 topology : 比方說前面版友提到的 topological insulator : 和原 po 的 text topology 都是 : ---- : 題外話1, 我最不能忍受別人說 "像是拓樸學中的七橋問題..." 這種話 xD : 題外話2, 我 blog 上使用的 laTeX 外掛的伺服器目前好像掛了 : 雖然語法正確但是有時會顯示不出來 @@ 4. 另外一種分支是 point-free topology。一般 topology 講的是集合上有 open sets 滿足特定公設，但是 point-free topology 則是直接定義拓樸為： complete lattice F 滿足 infinite distributive law: VS /\ a = V(s /\ a) 其中 S 是 F 的子集，a 是 F 的一個元素，V 代表 arbitrary sup 而 /\ 是 binary inf。我們把 F 這樣的結構稱為 frame 其中的元素想成是 open set ，一般定義的拓樸空間 (X, \tau) 的 \tau 即滿足此公設。（arbitrary inf 則是取交集的 interior）在此範疇下的 morphism 則是保持 arbitrary sup 跟 finite inf，而拓樸空間的連續函數的反函數限制在 open sets 上則滿足此一條件，所以從拓樸範疇 Top 到這個結構我們稱為 Frm 有一個 contravariant functor，為了方便起見，我們都用 Frm 的 opposite category 叫做 the category of locales。給定一個 frame F 我們也可以得到一般的拓樸空間，但可惜這兩個範疇並不相等，也就是說從任意 frame F 出發，轉成 topological space 再取 open sets 作為 frame 並不會跟原本的相等。反之，給定任意拓樸空間，轉成 frame 再轉回拓樸空間也不會一樣。但只要滿足很微弱的分離條件在 T0 跟 T2 之間，就可以轉回一樣的東西。這套理論的經典教科書是 P. Johnstone 的 Stone space，裡面有很多經典拓樸的定理，都可以用這套架構證出來，也可以在上面作測度，作積分等等。據稱好處是論證都是構造式的，而且在 topos theory 下比用 Top 性質還要好，但這也不是我的研究領域，好在哪裡我也不曉得。 -- XOO's http://xcycl.wordpress.com/ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 82.36.121.236

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