Re: [微積] 一題ODE
※ 引述《bennygameii (鹼性椅子水)》之銘言：
: 題目如下
: y'''-2y''-4y'+8y=6xexp(2x)
: 我用逆運算子處理特解時
: 2
: exp(2x)*3x
: 卡在 -----------------------
: (D^2+4)
: 因為功力太弱解不出來Q_Q
: 麻煩幫我指點一下
(D^3-2D^2-4D+8)y=6xexp(2x)
(D-2)(D+2)(D-2)y=6xexp(2x)
y_h=(a+bx)exp(2x)+cexp(-2x)
1
y_p= ──────── 6xexp(2x)
(D-2)(D+2)(D-2)
1
= 6exp(2x) ───── x
(D+4)D^2
1 1
=6exp(2x) ───── ─ x^3
(D+4) 6
1 1 1 1
= exp(2x) (── - ──D + ──D^2-───D^3)x^3
4 16 64 256
1 3 6 6
= exp(2x)[── x^3 -── x^2 + ──x- ───]
4 16 64 256
通解y=y_h+y_p
說明：
d
1. D= ── 為運算子
dx
1
── = ∫dx 為逆運算子，即為積分
D
1
── =∫∫dxdx 為重積分
D^2
1 1
故 ───x = ∫∫xdxdx= ── x^3
D^2 6
2. 詳解：
1
─── f(x) = exp(λx)∫exp(-λx)f(x)dx ，將值代入運算即可
D-λ
周易云：超煩
速解： 執行逆長除法，可得
1
───x^n = (a +a D+aD^2+..+a D^n+....)x^n 執行長除法至n即可
D-λ 1 2 3 n
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