Re: [其他] 證明問題
※ 引述《a606155123 (冷氣團團長)》之銘言：
: 1.
: (x + y)^4=y^4+4xy^3 +6x^2y^2+4x^3y+x^4 證明題!!
: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
: 底線是在次方下面 就是 ex:y^4=(y)(y-1)(y-2)(y-3)
: ¯
先來看這題...
先考慮 x,y 為正整數:
(x+y)(x+y-1)(x+y-2)(x+y-3) x+y
(x+y)^4 = -------------------------- * 4! = 4! C
¯ 4! 4
x+y 個東西裡面取 4 個的情況有:
y
(1) y 取 4 個 => C
4
x y
(2) x 1個, y 3個 => C C
1 3
x y
(3) x 2個, y 2 個 => C C
2 2
x y
(4) x 3個, y 1個 => C C
3 1
x
(5) x 4個 => C
4
於是有在 x,y 為整數的情況下:
x+y [ y x y x y x y x ]
(x+y)^4 = 4! C = 4! [ C + C C + C C + C C + C ]
¯ 4 [ 4 1 3 2 2 3 1 4 ]
= y^4 + 4xy^3 + 6x^2y^2 + 4x^3y + x^4
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
現在令 f(x,y) = (x+y)^4
¯
g(x,y) = y^4 + 4xy^3 + 6x^2y^2 + 4x^3y + x^4
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
由於 f,g 兩式都是整係數多項式函數,
我們發現這兩個多項式函數在代入整數點的時候值會一樣,
那也就是 (f-g)(x,y) 會有無窮多個根 => f-g 全等於 0
因此 f(x,y) = g(x,y) for all x,y
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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。
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