Re: [分析] 不可數個正數之和必非有限數?

看板Math作者 (遠遠不夠阿...)時間14年前 (2011/11/14 00:52), 編輯推噓2(2推 0噓 10→)
留言12則, 4人參與, 最新討論串2/3 (看更多)
※ 引述《ericpony (活死人)》之銘言： : 如題, 請版上高手提供證明思路或反例, 謝謝! : (原題目是 Show that if u(.) is a finite measure, then there : cannot be uncountably many disjoint sets A such that u(A)>0.) 我的想法是這樣的 若全空間是Z u(Z)=M , M屬於N 假設Z存在一種不可數分割 {Ai,i屬於I} 使得u(Ai)_>0 for all i 則 (1)一定可以找到最大的Ai (若沒有最大就表示u(Z)無限大 矛盾) (2)最大的Ai一定是有限個 (若無限個 相加就發生矛盾) 所以令 B1 ~ Bk1 為最大的那幾個 同理 Bk1+1~ Bk2 為第二大的那幾個 Bk2+1~ Bk3 為第三大的那幾個 ..... ....... Bkj+1 ~ Bkj+2 為第j+2大的那幾個 ..... ........ 因此 {Bj} 為一個可數個的集合 且 {Bj} = {Ai} 但 {Ai}是不可數的集合 所以矛盾 小弟的淺見 有錯請指正 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.139.141.116
推
11/14 01:10, , 1F
若最大的Ai, 其數目是不可數的, 那麼{Bj}仍不可數喔~
11/14 01:10, 1F
→
11/14 01:12, , 2F
不過依照你的思路, 稍加修改答案就出來了喔^^
11/14 01:12, 2F
→
11/14 01:15, , 3F
因為必存在一個有限的n, 使得第n大的集合數目不可數
11/14 01:15, 3F
→
11/14 01:17, , 4F
但這些集合的測度又都相同, 相加起來為無限大, 矛盾~
11/14 01:17, 4F
推
11/14 01:21, , 5F
咦@@ 發現我漏看了第二點,所以其實你已經證出來了orz
11/14 01:21, 5F
→
11/14 01:24, , 6F
^_^
11/14 01:24, 6F
→
11/14 21:40, , 7F
最大的Ai是指使u(Ai)最大化的Ai嗎?
11/14 21:40, 7F
→
11/14 21:41, , 8F
u(Ai)有上界 ==> u(Ai)有上確界 =\=> u(Ai)有最大值
11/14 21:41, 8F
→
11/14 22:45, , 9F
我不知道你的使u(Ai)最大化是什麼意思~
11/14 22:45, 9F
→
11/14 22:46, , 10F
我的意思是無論哪種分割,總會有最大的那個!
11/14 22:46, 10F
→
11/14 22:57, , 11F
可以有最大的分割, 可是不一定有最大的 Ai
11/14 22:57, 11F
→
11/14 22:58, , 12F
假設若有分割 En = {Ai} 其 measure 為 (1-1/n)
11/14 22:58, 12F
‣ 更多 JMLiang 的文章
文章代碼(AID): #1El_NVFt (Math)
‣ 更多 JMLiang 的文章
文章代碼(AID): #1El_NVFt (Math)