[中學] 證明a,b,c為有理數

看板Math作者 (那一天到了)時間14年前 (2011/11/07 15:44), 編輯推噓2(2推 0噓 4→)
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已知：a,b,c為實數，且a+b, b+c, c+a為有理數 試證：a,b,c為有理數 我的證明過程： 設a,b,c中至少存在一個無理數 若a為無理數，則令a = a' + x，其中a'為有理數，x為無理數 因為a+b為有理數，故可令b = b' + (-x)，其中b'為有理數 因為b+c為有理數，故可令c = c' + x，其中c'為有理數 則此時a+c = a' + c' +2x，a'+c'為有理數，2x為無理數，故a+c為無理數（矛盾） 所以a,b,c全為有理數 想請教這樣的證明過程是否有錯誤，或者有沒有更快的方法，謝謝大家 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 223.140.53.83
推
11/07 15:50, , 1F
有理數的封閉性：(a+b)、(b+c)為有理數，則
11/07 15:50, 1F
→
11/07 15:51, , 2F
(a+b)+(b+c)-(c+a)=2b為有理數（第一行少c+a）
11/07 15:51, 2F
→
11/07 15:52, , 3F
a = [(a+b)+(c+a)-2*(b+c)]/2 end
11/07 15:52, 3F
推
11/07 18:05, , 4F
直接用封閉性作反證 可以不用設後面那些有的沒的
11/07 18:05, 4F
→
11/07 18:16, , 5F
不過這題直接證跟反證好像差不多快
11/07 18:16, 5F
→
11/08 07:29, , 6F
感謝大家，我沒想到可以直接用封閉性去證....
11/08 07:29, 6F
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