Re: [微積] 請問一題積分求值
※ 引述《chien0525 (雙子男)》之銘言：
: 題目是
: Find the value of
: ∞ 1
: ∫ －－－－－ dx where n is a positive integer.
: 0 2 2 n
: (x + a )
: 2
: 我是先設 x = a tanx dx = a sec x dx
: 不過最後還是卡再那個n項...
: 請會的大大幫忙解答
: 多多指教
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∞ 1
令 f(n) = ∫ ─────── dx
0 (x^2 + a^2)^n
x x→∞ ∞ x^2
則 f(n) = ────── │ + 2n ∫ ───────── dx
(x^2+a^2)^n x=0 0 (x^2 + a^2)^(n+1)
2
= 2n*[ f(n) - a f(n+1)]
可得一 recurrance relation:
2n-3
f(n) = ┌ ───── f(n-1) if n＞1
│ (2n-2)a^2
│
│ π
└ ── if n=1
2a
1 n 2i-3
因此 f(n) = ──── Π ───* f(1)
a^(2n-2) i=2 2i-2
π (2n-2)!
= ────── * ──────
(2a)^(2n-1) (n-1)!(n-1)!
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◆ From: 123.195.59.239
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10/27 09:21, , 1F
10/27 09:21, 1F
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