Re: [微積] 級數微分證明
※ 引述《nightseven (竹楓)》之銘言：
: <<題目>>
: Poof the hypergeometric series F(a,b,c,d)
: d ab
: ----F(a,b,c,x) = ----F(a+1,b+1,c+1,x)
: dx c
: hint:
: oo a(a+1)…(a+n-1)b(b+1)…(b+n-1)
: ΣF(a,b,c,x) = 1 + Σ --------------------------------(X^n)
: n=1 n!c(c+1)…(c+n-1)
oo a(a+1)…(a+n-1)b(b+1)…(b+n-1)
F(a,b,c,x) = 1 + Σ --------------------------------(X^n)
n=1 n!c(c+1)…(c+n-1)
: 我本來以為是直接對x微分，可是跟結果不一樣，是不是還要考慮對a,b,c的微分？
: 拜託各位大大，幫我解答一下過程了。
: 感謝~
∞ a(a+1)…(a+n-1)b(b+1)…(b+n-1)
F(a,b,c,x) = 1 + Σ --------------------------------(X^n)
n=1 n!c(c+1)…(c+n-1)
∞ (a+n-1)!/(a-1)! (b+n-1)!/(b-1)!
= 1 + Σ -----------------------------------(X^n)
n=1 n! (c+n-1)!/(c-1)!
∞ Γ(a+n)/Γ(a) Γ(b+n)/Γ(b)
= 1 + Σ -----------------------------(X^n)
n=1 n! Γ(c+n)/Γ(c)
d ∞ Γ(a+n)/Γ(a) Γ(b+n)/Γ(b)
----F(a,b,c,x) = Σ --------------------------------(X^n-1)
dx n=1 (n-1)! Γ(c+n)/Γ(c)
∞ Γ(a+n+1)/Γ(a) Γ(b+n+1)/Γ(b)
= Σ ------------------------------------(X^n+1-1)
n+1=1 (n+1-1)!Γ(c+n+1)/Γ(c)
∞ Γ(a+1+n)/Γ(a) Γ(b+1+n)/Γ(b)
= Σ ------------------------------------(X^n)
n=0 n! Γ(c+1+n)/Γ(c)
∞ Γ(a+1+n)/Γ(a+1) Γ(a+1)/Γ(a) Γ(b+1+n)/Γ(b+1) Γ(b+1)/Γ(b)
= Σ -----------------------------------------------------------------(X^n)
n=0 n! Γ(c+1+n)/Γ(c+1) Γ(c+1)/Γ(c)
Γ(a+1)/Γ(a) Γ(b+1)/Γ(b) ∞ Γ(a+1+n)/Γ(a+1) Γ(b+1+n)/Γ(b+1)
= ----------------------------- Σ ------------------------------------(X^n)
Γ(c+1)/Γ(c) n=0 n! Γ(c+1+n)/Γ(c+1)
a b ∞ Γ(a+1+n)/Γ(a+1) Γ(b+1+n)/Γ(b+1)
= --- Σ ------------------------------------(X^n)
c n=0 n! Γ(c+1+n)/Γ(c+1)
a b ∞ Γ(a+1+n)/Γ(a+1) Γ(b+1+n)/Γ(b+1)
= --- [ 1 + Σ ------------------------------------(X^n) ]
c n=1 n! Γ(c+1+n)/Γ(c+1)
a b
= --- F(a+1,b+1,c+1,x)
c
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有錢有勢 法律為你服務 鴿子替你開路 國庫任你擺佈 人人搶著脫褲 宅宅好生羨慕
沒錢沒勢 法律就是死路 鴿子開單快速 繳稅好生淚目 天天朝九晚五 望豪宅而哭哭
有錢有勢的小孩
常常不學無術 跟隨老爸腳步 高中女人無數 嘿咻不亦樂乎 幹完送個禮物 結婚眾人祝福
沒錢沒勢的小孩
從小用功唸書 體貼爸媽辛苦 畢業庸庸碌碌 薪水寥寥可數 縱有好的歸宿 沒錢為人父母
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