[線代] 反矩陣的定義

看板Math作者 (ask)時間14年前 (2011/10/20 15:32), 編輯推噓5(5推 0噓 18→)
留言23則, 7人參與, 最新討論串1/5 (看更多)
手邊的書(有3本)都用AB=BA=I來定義A的inverse 起初不是很在意AB=I會不會保證BA=I 但剛剛在導2階方陣A的inverse公式時，問題就來了 我只用AB=I就把A的inverse公式導出來了 這樣我還要證明BA=I才能讓公式合法 還是現在就可以說這個公式沒問題、可以用了? 不才的意思是能不能只用AB=I來定義A的inverse ，不說BA=I，因為只要AB=I，BA就等於I? 請賜教，謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.127.67.57 ※ 編輯: rtyxn 來自: 140.127.67.57 (10/20 15:33)
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以上的A都是方陣
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推
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可以直接証矩陣的單側反元素即為雙側反元素
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推
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AB都是方陣且A是滿秩 纔會有AB=1即BA=1的結果
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10/20 15:49, , 4F
to r*****:一定要用到rank嗎?
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推
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喔 我是說要方陣的意思
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推
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A*B=I BA=A^{-1}*A*B*A=A^{-1}*A=I 這樣?
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恩，只有方陣才會對，證明方法可以用 row operation
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只有 AB=I 時，我們不曉得 A^(-1) 存在
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所以 jacky 的證明是不可行的
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可以假設C使CA=I，再用結合律在CAB=C上面
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AB=I 可以推出 BA=I 是方陣的一個特殊性質
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並非所有環都有這種性質
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有些環中，元素可能只有右反元素而沒有左反元素
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不過只要兩邊都存在反元素的話，結合律就可以用了
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如果只是藉由一些元素的乘法，而沒用到矩陣的性質
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是不可能證明這個結果的
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所以為了證明兩邊都有反元素，用到的東西就跟rank差
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不多
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我們並不曉得 A 是否有左反元素
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想到以前念代數時，曾經有一題習題，
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做了很多年都沒做出來，一直到前兩年沒事翻以前的書
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看到，忽然想出怎麼做，算一算已經差不多二十年了
10/20 18:28, 22F
推
10/20 21:57, , 23F
謝謝大家的回答!!
10/20 21:57, 23F
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