[微積] Incomplete gamma function Γ(x,1)
∞
Γ(x,1) = ∫ t^(x-1) * e^(-t) dt , x€real number
1
考古題要證Γ(x,1)在x可微 且找出其值
我猜：dΓ(x,1) ∞
──── = ∫ (lnt) * t^(x-1) * e^(-t) dt , x€real number
dx 1
意思是假設微分可以搬進去
之後我去wolfram微微看 出現了一個很醜的函數
叫作 Meijer G-function...感覺很複雜 先放棄
之後上網去wiki找 也都是微出這種形式
於是我只好硬著頭皮去拼湊出一個lemma
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<Lemma> (是自己證的 不知道對不對@@")
b
if：(1) F_b(t) = ∫f(t,x) dx
a
∞
converges to F(t) = ∫f(t,x) dx as b→∞
a
uniformly for all t€D(t_o,δ)
(譯：f(t,x)這個函數，對x從a積分到∞在某個t_o的鄰域是均勻收斂的)
(2) f(t,x)在t_o的偏導數存在(denoted by f_t(t_o,x) )
且偏導數對x從a積分到∞是收斂的
∞
then：F(t)在t_o可微，且其微分值為 ∫f_t(t_o,x) dx
a
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所以要套用在這個題目的話 (Γ(x,1))
我只要證明
(一) (Lemma的(2))
∞
∫ (lnt) * t^(x-1) * e^(-t) dt , x€real number
1
是存在的
(二) (Lemma的(1))
對每個x 都存在一個鄰域
使得瑕積分在這個鄰域是均勻收斂的
就可以把微分搬進去
但是...有兩個大問題...
(1) 高微學的均勻收斂是discrete domain 也就是針對 n是正整數
現在我要的均勻收斂是要在一個鄰域...這條件太強了吧
應該很難證??? (我還沒試 或許可以藉由這個函數是遞減函數來看)
(2) 就算我證出來微分可以搬進去，那個式子不能當答案吧???
還是要積出wolfram那個沒學過的Meijer G-function???
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有更簡單的方法嗎???
謝謝
(清大98年高微第6.題)
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