Re: [機統] 變異數和組合
※ 引述《Ertkkpoo (water)》之銘言：
: 2
: 2. V(X)=E[(X-μ) ] V代表變異數 E代表期望值 X代表間斷隨機變數
: μ代表母體平均數
: 這個該如何證明呢?
: n
: 定義 E(X)=Σ x f(x ) f(x ) 為機率函數
: i=1 i i i
: n 2
: V(X)=Σ (x -μ) f(x ) x 為隨機變量 X為隨機變數
: i=1 i i i
: 不太能從這兩個公式去看其相聯的關係
: 謝謝大家
我覺得原 po 有點問反了
Δ
E[X] ＝ Σ x P(X = x ) ____(1) => 這個是 Definition
i i i
Δ 2
Var(X) ＝ E[(X-μ) ] ____(2) => 這個是 Definition
2
＝ Σ (x -μ) P(X = x ) ____(3) => 這個才是 Theorem
i i i
有一個定理是:
『
If X ia a real r.v. with pdf f (x) , then the expected value
X
of Y = g(X) is:
∞
E[Y] = ∫ g(x)*f (x) dx ,where g(.) is measurable
-∞ X
』
一般隨機變數方面的書不會證明這個 thm.
因為需要實變那方面的知識才有辦法證明
而那並非是機率所要 cover 的重點
但那個 thm. 很重要且很常用到
所以書上通常會提供不正規的論證 來讓讀者了解 thm. 所代表的涵意
最常用的一招就是 M.V.T.: P[x < X < x + Δx] ～ f (x)*Δx
X
至於當 X 是 discrete r.v.
其 pdf 可以看成是由 delta functions 組成
利用上述的 thm. 再搭配 delta function 的一些 property
可以直接類推 E[Y] = E[g(X)] 在 discrete 的 case ( 也就是 (3)式 )
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ps:
(3) 式其實才是統計上較原始的 idea
只是在前人們智慧的結晶 push 下
定義會越來越 compatibility 和 generalization
以上是我的看法
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