Re: [微積] 最基本的高微 關於實數
※ 引述《kusokiller (士官長)》之銘言：
: 想請問關於實數完備性的證明
: 我先設一個嚴格遞增數列｛an｝上方有界
所以a1<a2<a3<....
a1~x1=｛x11.x12.x13....｝
a2~x2= {x21.x22.x23....}
(這樣好一點)
: 設 y1=x11 因a1<a2
: 所以我可在x2內找到
: y2 = x2j > x11 = y1
: y3 = x3j
y_n的取法
因為a_1<a_2 所以存在n_2 使得 x(2,n_2) > x(1,j) for all j, 取 y_2 =x(2,n_2)
因為a_2<a_3 所以存在n_3 使得 x(3,n_3) > x(2,j) for all j, 取 y_3 =x(3,n_3)
依此類推以致無窮 得有理遞增數列
這個取出來的y_n剛好會收斂到α 而且等等可以用來證明最小上界 所以才要這樣取
: 做出一個上方有界(因an有界)的增數列
: 這個數列代表一個實數α
: α>yn=xnj>x(n-1)j>a(n-1)
: 所以α是｛an｝的上界
: 接下來要證明α是{an}的上確界
: 所以我們可以知道一個上方有界的增數列必有上確界
: 以上大概是我能看懂但是我卻不知道為什麼要這樣做的老師抄的筆記
: 想要請問的是
: 1.α是{an}上確界的這部份的證明
: 2.為什麼不能直接由{an｝上方有界就直接設α是上界 而要做那些x1或是y1出來呢
: 上了兩個禮拜的高微 可是什麼都聽不懂
: 希望能有高手幫忙 感謝
數列{a_n}的最小上界α滿足:
A.α是{a_n}的上界
B.對於任意的正數ε>0 ,(α-ε)就不是{a_n}的上界
也就是 對於任意的正數ε>0,存在一個正整數N,只要n>N 就會有 a_n >(α-ε)
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或者
A.α是{a_n}的上界
C.對於β<α,β都不是{a_n}的上界
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◆ From: 111.249.5.174
推
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09/25 17:42, , 4F
09/25 17:42, 4F
全部重寫一次
定理(實數的完備性):
A={a_1,a_2,.....} a_n為實數 且a_n≦a_(n+1)
若A有上界 則A必有上確界
證明:
A只有有窮元素時較簡單跳過,只看A有無窮元素時
集合A有無窮多元素時 可以選取嚴格地遞增子序列
所以不妨設a_n<a_(n+1)
因為a_1<a_2 所以存在n_2 使得 x(2,n_2) > x(1,j) for all j, 取 y_2 =x(2,n_2)
因為a_2<a_3 所以存在n_3 使得 x(3,n_3) > x(2,j) for all j, 取 y_3 =x(3,n_3)
依此類推以致無窮 得遞增有理數列{y_n}
y_1<y_2<...
因為{a_n}有上界(設為M) 所以y_n<M for all n
_ _
=>y = {y_1,y_2,...} 令α為 y 所表實數 claim:α是最小上界
(i)
考慮 a_n~X_n={ x(n,1),x(n,2),....}
α>y_(n+1)>X(n,j) for all j =>α>a_n for all n =>α是{a_n}的上界
(ii) _
假設β<α~y={y_1,y_2,..}
=>存在k 使得 y_k>β,且y_k=x(k,n_k)<a_(k+1)
=>β不是{a_n}的上界
※ 編輯: alasa15 來自: 111.249.13.19 (10/17 19:44)
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