Re: [中學] 請教一題不等式
※ 引述《iamOrz (I am Orz)》之銘言：
: a,b是正實數,並且滿足a+b=1.
: 1 1
: 證明 (a + ---------)*(b + ---------) ≧ 25/4
: 2*(b^2) 2*(a^2)
: 請指教,謝謝
想法：等號成立條件顯然是 a=b=1/2，
1
注意此時 a = ─── * 1/4
2b^2
1
所以只要把 ─── 硬拆成 4 份，即可利用算幾不等式
2b^2
把原式不對稱的兩個乘式，融合成一個對稱的式子
作法：
1 1 1 1/5
a +─── = a + 4 * ─── ≧ 5 (a * ───)
2 2 4 8
2b 8b 8 b
1 1 1 1/5
b +─── = b + 4 * ─── ≧ 5 (b * ───)
2 2 4 8
2a 8a 8 a
以上等號成立條件皆為 a=b=1/2
1 1/5
兩式相乘 → 原式 ≧ 25* (────)
8 7
8 (ab)
1/2 -1
注意 1 = a+b ≧ 2(ab) → (ab) ≧ 4 (等號成立條件亦為a=b=1/2)
7
4 1/5
故原式 ≧ 25* (──) = 25/4
8 #
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