Re: [中學] 請問一題不等式證明
※ 引述《zivkmc (ziv)》之銘言：
: 求證:存在正常數c使得對所有實數x,y,z,有
: 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|>c(|x|+|y|+|z|)
不妨假設 |x|<=|y|<=|z|
如果 |z| <= 2 則 |x|+|y|+|z| <= 6
則 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz| > (1/7)(|x|+|y|+|z|)
接下來考慮 |z| > 2 的情形
如果 |xy| >= 1 則 |xyz| >= |z| >= (1/3)(|x|+|y|+|z|)
所以 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz| > (1/3)(|x|+|y|+|z|)
接下來考慮 |z|>2, |xy|<1 的情形
如果 |x+y|< 1, 則 |x+y+z| >= |z|-1 >= |z|/2 >= (1/6)(|x|+|y|+|z|)
所以 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|> (1/6)(|x|+|y|+|z|)
接下來考慮 |z|>2, |xy|<1, |x+y|>= 1 的情形
|xy+yz+zx| = |(x+y)z + xy|>=|(x+y)z|-|xy| >= |z|-1 >= |z|/2
>= (1/6)(|x|+|y|+|z|)
所以 1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|> (1/6)(|x|+|y|+|z|)
從上面討論可以知道對任意實數 x, y,z
取 c =1/7
不等式恆成立
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◆ From: 220.132.177.99
推
09/20 16:33, , 1F
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09/22 13:41, , 3F
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討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：