Re: [工數] 複變積分

看板Math作者endlesschaos (佐佐木信二)時間14年前 (2011/09/08 13:39)推噓4(4推 0噓 6→)

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※ 引述《kilikolo0218 (小霸王)》之銘言： : 某年台大機械的考題 : ∞ 3x+2 : ∫ ---------------dx : -∞ x(x-4)(x^2+9) : 可以請教用複變的方式解題嗎 : 感謝考慮包含第一、第二象限之半徑無限大之半圓之路徑積分 3z + 2 ∮ ---------------- dz = ∫ + ∫ = 2πi * Res(3i) + πi * [Res(0) + Res(4)] z(z-4)(z^2 + 9) C1 C2 其中 C1 路徑為實數軸 C2 路徑為半圓圓周而在 ∫ 上，z：-∞ → ∞ C1 ∞ 3z + 2 ∞ 3x + 2 ∫ = ∫ ----------------- dz = ∫ ----------------- dx = 所求 C1 -∞ z(z-4)(z^2 + 9) -∞ x(x-4)(x^2 + 9) iθ 在 ∫ 上，z = Re ， R → ∞ ， θ：0 ～ π C2 iθ π 3Re + 2 iθ ∫ = lim ∫ ----------------------------- * iRe dθ C2 R→∞ 0 iθ iθ 2 i2θ Re (Re - 4)(R e + 9) iθ π 3i * Re + 2i = lim ∫ ------------------------------------ dθ R→∞ 0 3 i3θ 2 i2θ iθ R e - 4R e + 9Re - 36 = 0 (分母 R 次數高於分子，當 R 趨近無限大時會收斂到 0) 1 7 -19 + 42i 又 Res(0) = - ----、Res(4) = ----、Res(3i) = ----------- 18 50 450 故 2πi * Res(3i) + πi * [Res(0) + Res(4)] -42π - 19πi 19πi 14 = --------------- + ------------- = - ----π = 所求 225 225 75 # -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.44.41 ※ 編輯: endlesschaos 來自: 140.112.44.41 (09/08 13:41)

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ntust661

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kilikolo0218

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Frobenius

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