Re: [微積] 均值定理證明不等式一題
※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 題目:試利用均值定理證明 當x>0, sqrt(1+x) < 1+ x/2
: 我想不出如何用均值定理證出這結果(此時還不能用遞增遞減判斷)
: 我只能用高中的方法
: 既然兩邊都是正的,那都平方一下比大小,這樣就得到要證的
: 但我還是很想知道如何用均值定理證這題
: 麻煩各位了,謝謝
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令f(x)= 1+(x/2)-√(1+X) => f'(x) = 1/2 - --------- > 0 for all x>0
2√(1+X)
f(0) = 1+0-1 =0
f(x)-f(0) f(x)
由均值定理可知,在區間(0,x)中存在c (0<c<x) 使得 f'(c) = ----------- = ------
x-0 x
=> f(x) = f'(c)x = 正數*正數 > 0
=> 1+(x/2)-√(1+X) > 0
=> 1+(x/2)>√(1+X) for all x>0
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