Re: [微積] 均值定理證明不等式一題
※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 題目:試利用均值定理證明 當x>0, sqrt(1+x) < 1+ x/2
: 我想不出如何用均值定理證出這結果(此時還不能用遞增遞減判斷)
: 我只能用高中的方法
: 既然兩邊都是正的,那都平方一下比大小,這樣就得到要證的
: 但我還是很想知道如何用均值定理證這題
: 麻煩各位了,謝謝
其實就是用遞增遞減......
x ＿＿＿ 1
Set f(x) ＝ 1 ＋ ── － √1＋ x . Then f is Ｃ ((-1,∞)).
2
1 1
f'(x) ＝ ── － ──────── ＞ 0 for all x ＞ 0.
2 2(1＋ x)^(1/2)
For any x in (0,∞), f(x)－f(0) ＝ f'(z )(x－0) for some z
x x
between 0 and x by mean value theorem. Now, both of f'(z ) and x
x
are greater than 0, we have f(x)－f(0) ＞ 0,
x ＿＿＿＿
f(x) ＞ f(0) ＝ 0 for all x ＞ 0, 1 ＋ ── － √1 ＋ x ＞ 0
2
for all x ＞ 0.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.123.62.134
推
08/30 22:22, , 1F
08/30 22:22, 1F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 4 篇)：