Re: [微積] sigma i^2 公式推導
※ 引述《driftseed (阿輝)》之銘言：
: 求
: n
: Σ i^2
: i=1
: 印象中是不是可以用微積分的方式
: 推導出來sigma i、i^2、i^3... 這些公式
n n n n
Σ i^2 = Σ [i(i-1)+i] = 2Σ C(i,2) + Σ i = 2C(n+1,3)+C(n+1,2)
i=1 i=1 i=1 i=1
= n(n+1)(2n+1)/6
同理可得
i^3=i(i-1)(i-2)+3i(i-1)+i
n
故 Σ i^3 = 6C(n+1,4)+6C(n+1,3)+C(n+1,2) = (n(n+1)/2)^2
i=1
----------------------------------
若不想用組合的式子
只需改成 i^2 = i(i-1)+i = [(i+1)-(i-2)](i)(i-1)/3 + [(i+1)-(i-1)]i/2
= [(i+1)i(i-1)-i(i-1)(i-2)]/3 + [(i+1)i-i(i-1)]/2
再分項對消即可
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