Re: [微積] sigma i^2 公式推導
※ 引述《driftseed (阿輝)》之銘言：
: 求
: n
: Σ i^2
: i=1
: 印象中是不是可以用微積分的方式
: 推導出來sigma i、i^2、i^3... 這些公式
3 n+1 3 n 3 n 3 n 3
(n+1) ＝ Σ k – Σ k ＝ Σ (m+1) –Σ k
k=l k=1 ↑ m=0 k=1
│
└ Set k = m+1
n 3 3 n 2
＝ 1 ＋ Σ [(k+1) –k ] ＝ 1 ＋ Σ (3k + 3k + 1)
k=1 k=1
n 2 n n n 2 3n(n+1)
＝ 1 ＋ 3 Σ k ＋ 3 Σ k ＋ Σ 1 ＝ 1 ＋ 3 Σ k ＋ ──── ＋ n
k=1 k=1 k=1 k=1 2
3 2
n 2 1 3 3n(n+1) 2n + 3n + n
=> Σ k ＝ ── [(n+1) – ──── – n – 1] ＝ ────────
k=1 3 2 6
n(n+1)(2n+1)
＝ ────── .
6
其餘依此類推，但都要求出前幾次方的和的公式才能算。
至於跟微積分有沒有關係......，算是有，例如下面這個題目：
Find all positive integer p, q, r such that
n p n q r
Σ k ＝ (Σ k ) for all n.
k=1 k=1
算是要用到一點點的積分吧!!
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◆ From: 218.173.171.113
推
08/23 00:11, , 1F
08/23 00:11, 1F
→
08/23 05:51, , 2F
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