Re: [分析] 證明一致連續
※ 引述《pentiumevo (神秘數學組織SIGMA)》之銘言：
: 題目：
: 設f(x)在[0,+∞)連續，且 lim f(x) (x → +∞)存在，證明f(x)在[0,+∞)一致連續
: 書上解法：
: For all ε> 0 ,there exist N > 0 s.t. when u,v>N we have |f(u)-f(v)|<ε
: Now consider [0,N+1],by theorem ,we know that f(x) is uniformly continuous
: on [0,N+1]. Hence , to above ε ,there exist δ > 0 s.t. while |u-v|<δ
: we have |f(u)-f(v)|<ε.Without loss generality,we can take δ<1.
: For arbitrary u,v in [0,+∞) which satisfy |u-v|<δ,we have two cases:
: 1) u and v are in the [0,N+1]
: 2) u,v > N
: In either cases,we all get |f(u)-f(v)|<ε,thus f(x) is uniformly continuous
: on [0,+∞). □
: 我的問題：
: 取δ<1的理由是什麼？ 是不是因為與後面的N+1有關？
對, 如果是 N + r ，那就取 δ 小於 r.
: 我是這樣理解取δ<1的可行性：
: 驗證一致連續性時，若能取到δ，那所有比這δ更小的δ都適用。現在限制δ<1
: 若起初δ就小於1，那就沒差；而若是起初取的δ大於等於1，當然我們可以取的更
: 小的δ，且滿足小於1的條件。
丟! (台語)
: 原本我自己想把R分成[0,N]與大於N的兩部分，但發現若一個u在[0,N],而一個v在大
: 於N的部分，此時我不知道|f(u)-f(v)|<ε是否有辦法成立。後來想想書上解法故意
: 分成[0,N+1]與大於N的兩部分，中間有重疊一小段，而那一小段又是1，這樣的話
: 凡|u-v|<δ就一定成立|f(u)-f(v)|<ε，所以我想取δ<1與N+1是有關的。
: 那按照我的理解，我分成[0,N+0.5]與大於N的兩部分，那是不是我要限制δ<0.5 ？
就如同第一段講的，沒錯.
: 麻煩板友幫忙指出我的錯誤，謝謝。
其實也可以不要重疊；就是說，因為 f 在 [0,N] 這個 compact set 上連續，
(如果不知道compact set的話，就先用有界閉區間去看吧)
所以一定有一個 η ＞ 0 使得 u,v 在 [0,N] 且 ∣u–v∣＜ η =>
∣f(u)–f(v)∣＜ ε. 所以當一個 ∣u–v∣＜ η, u ≦ N 且 v ＞ N 時，
可以得到 ∣f(u)–f(v)∣≦ ∣f(u)–f(N)∣＋∣f(N)–f(v)∣＜ 2ε.
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標題 Re: [好奇] 槍支合法的國家的八卦
時間 Wed Apr 18 20:46:57 2007
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即使是瘋狂老希也意識到入侵瑞士是自找麻煩
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推
04/18 20:48,
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.123.62.134
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08/17 22:51, , 1F
08/17 22:51, 1F
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