[分析] 證明一致連續
題目：
設f(x)在[0,+∞)連續，且 lim f(x) (x → +∞)存在，證明f(x)在[0,+∞)一致連續
書上解法：
For all ε> 0 ,there exist N > 0 s.t. when u,v>N we have |f(u)-f(v)|<ε
Now consider [0,N+1],by theorem ,we know that f(x) is uniformly continuous
on [0,N+1]. Hence , to above ε ,there exist δ > 0 s.t. while |u-v|<δ
we have |f(u)-f(v)|<ε.Without loss generality,we can take δ<1.
For arbitrary u,v in [0,+∞) which satisfy |u-v|<δ,we have two cases:
1) u and v are in the [0,N+1]
2) u,v > N
In either cases,we all get |f(u)-f(v)|<ε,thus f(x) is uniformly continuous
on [0,+∞). □
我的問題：
取δ<1的理由是什麼？ 是不是因為與後面的N+1有關？
我是這樣理解取δ<1的可行性：
驗證一致連續性時，若能取到δ，那所有比這δ更小的δ都適用。現在限制δ<1
若起初δ就小於1，那就沒差；而若是起初取的δ大於等於1，當然我們可以取的更
小的δ，且滿足小於1的條件。
原本我自己想把R分成[0,N]與大於N的兩部分，但發現若一個u在[0,N],而一個v在大
於N的部分，此時我不知道|f(u)-f(v)|<ε是否有辦法成立。後來想想書上解法故意
分成[0,N+1]與大於N的兩部分，中間有重疊一小段，而那一小段又是1，這樣的話
凡|u-v|<δ就一定成立|f(u)-f(v)|<ε，所以我想取δ<1與N+1是有關的。
那按照我的理解，我分成[0,N+0.5]與大於N的兩部分，那是不是我要限制δ<0.5 ？
麻煩板友幫忙指出我的錯誤，謝謝。
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