Re: [線代] 關於無限維度的矩陣
※ 引述《pennyleo》之銘言：
: 一個函數 可視為無限維度的向量
: 則 我想問
: 把一函數視為向量後
: 對一個函數的"線性運算" 例如微分 積分 ....
: 是否必對應到一個等價的無限維度的矩陣?
: 又 這些無限維度的矩陣 其行數與列數是否應相等
: (我不確定對於無限維度矩陣這樣的敘述是否正確)
: 若以上敘述為非
: 則 對於哪些運算 才對應到等價的無限維度的矩陣?
: 以及這些無限維度的矩陣 其行數與列數是否應相等
: 請高手答覆
: 謝謝
就如同版友說的，無限維矩陣跟斂散性有關係，所以通常你必須要在向量空間上
給定一個拓樸之後比較好說甚麼叫無線維矩陣。如果你考慮的是抽象的向量空間，
你希望研究其上的線性算子，你對"基底"的認知也會有所改變。所以就有Hamel Basis
跟Schauder basis的差異。
如果研究的向量空間是Banach空間，你就可以想成是連續函數所定義出來的向量空間
C(X)，然而其上的線性算子並沒有一個比較好的表現定理，換句話說你沒有辦法具體
的刻劃出C(X)上的所有線性算子。
如果你研究的空間是Hilbert空間H，並且這空間是separable，那麼此Hilbert空間同構
於l^2空間。原因就是在於，基底個數是可數的，所以你可以對你的基底中的向量取名
字。而l^2空間是所有平方和收斂的數列，你把他想像成歐氏空間的無窮維推廣。在此
情況下，你就可以把線性算子表示成無窮維矩陣。如果Hilbert空間是不可分離的，你
還是可以把他表成類似矩陣的想法，定義A_ij = <e_i|A|e_j>。此時你並不是真的把
他寫成矩陣，單純的稱Aij線性算子A的矩陣元素(matrix element)。其中{ei}是H的
基底。此時你當然可以稱行數跟列數視相等的。因為他們的基數就是基底元素的個數。
在一般非Hilbert空間的向量空間討論線性算子的矩陣表示是有困難的，通常你想要
用矩陣來研究線性算子也是希望利用矩陣的ㄧ些性質來討論他。無窮維矩陣通常只是
擺好看的，當然如果你研究的向量空間是數列形成，其上的線性算子自然是無窮維矩
陣，也是有人在做這方面的研究。
在泛函分析裡面，數學家對於無窮維矩陣研究的興趣並不是很大，但研究線性算子時
的確是會用無窮維矩陣的想法去做，或者是用有線維矩陣去逼近。可以用有線維矩陣
逼近的線性算子又叫做緊緻算子(compact operator)。為了一些目的，你又在這類算
子中做更細微的分類，例如可以算trace的稱為trace class。比較有意思的並不是單
純的線性算子本身，而是這類算子所形成的代數結構。著名的Brown–Douglas–
Fillmore theory，就是仰賴於這類算子的代數結構。
http://eom.springer.de/b/b130270.htm
這代數結構豐富了二十世紀的泛函分析，影響了非對易(交換)幾何學的發展。考慮
Hilbert空間H，B(H)為其上的有界線性算子，K(H)是定義在H上的緊緻算子。那麼K(H)
構成B(H)得一個ideal。他的商環Q(H)=B(H)/K(H)稱之為Calkin algebra。當然我相信
還是有人對於無窮維矩陣有很大的興趣，只是大家已經不太花時間在上面了。
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07/04 02:41, , 1F
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