Re: [微積] 保守向量場
※ 引述《cheesesteak (Terry)》之銘言：
: 令一向量場 F=(-y/(x^2+y^2))i+(x/(x^2+y^2))j+0 k for (x,y,z)≠(0,0,0)
: 可以找到 f(x,y,z)=-arctan(x/y)+C 使得▽f=F
: 令曲線c: r(t)=(0.5cost)i+(0.5sint)j+0 k 0≦t≦2π
: 2π
: ∮ F‧dr=∫ [(-0.5sint/0.25)*(-0.5sint)+(0.5cost/0.25)(0.5cost)] dt
: c 0
: = 2π≠0
你的 c 究竟長什麼樣子，會決定到你的積分值!!
很明顯的你包到 (x,y,z) = (0,0,0)
2 2
來看看 c : (x-2) + y = 1
x = 2 + cost
y = sint
2 2
x + y = 4 + 1 + 4cost = 5 + 4cost
dr = dx i + dy j = -sint dt i + cost dt j = ( -sint i + cost j) dt
2π -sint 2 + cost
∮ F‧dr = ∫ (─────── i + ─────── j)‧(-sint i + cost j) dt
c 0 5 + 4cost 5 + 4cost
2 2
2π sin t + 2cost + cos t
= ∫ ──────────── dt
0 5 + 4cost
2π 1 + 2cost
= ∫ ──────────── dt
0 5 + 4cost
2π 1 3
= ∫ ── ( 1 - ───────) dt
0 2 5 + 4cost
3 2π
= π - ── ────── = 0
2 √(25 - 16)
我沒有包到不可解析點，所以還是會滿足 Stokes theorem
: 我的問題是：已經找到函數f使得▽f=F，為何∮ F‧dr會不等於0?
: F是不是保守力場?
: 是因為F在(x,y,z)=(0,0,0)不存在所以∮ F‧dr≠0?
: 那麼像重力、靜電力這些在原點沒有意義的力場
: 即使找到f符合▽f=F，也不能說他們是保守力場?
你看重力場，我們巧妙的避開了地心(奇異點)，很歡樂的在地表使用Stokes theorem
點電場我就不太清楚電的方面怎麼回避他的@@
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.161.197.148
推
06/02 22:09, , 1F
06/02 22:09, 1F
→
06/02 22:13, , 2F
06/02 22:13, 2F
討論串 (同標題文章)