Re: [中學] 圓形放入正方形
※ 引述《itsweb (web)》之銘言：
: 標題: [中學] 圓形放入正方形
: 時間: Mon May 30 01:18:41 2011
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: 遇到一個數學問題
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: 是說把直徑1cm的硬幣放入邊長10cm的正方形內
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: 不重疊的情況下可以放入多少硬幣
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: "正常"的排法就是10*10=100個
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: 不過感覺這不太是最多的情況
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: 我有試過第二排不是正常地放 而是插進第一排排兩個硬幣中間的空隙
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: (因此第二排只能放九個)
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: 第三排和第一排排法相同 依此類推
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: //10 9 10 9 10 9 10 9 10 9 10
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: 這樣總共105個
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: 因為這樣下面還會有空洞 所以我就試著把最後三排都變成10
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: //10 9 10 9 10 9 10 9 10 10 10
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: 這樣答案就是106
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: 再多就會超過範圍了
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: 不知道還有沒有其他的排法會讓硬幣更多??
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: 因為我不太確定正確答案 倒是大陸版知識+裡面有人問
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: 然後有人回答107 不過沒附上過程orz
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: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 118.160.163.82
: 推 chuo :有辦法最後五排都10嗎 05/30 01:55
: → phg999 :應該是不行 05/30 02:03
: → itsweb :再多應該就不能了 只是不知道有沒有其他沒想到的方法 05/30 02:45
: 推 peicachu :前後相同排法,中間相同排法試試看 05/30 12:54
: 推 peicachu :10 10 10 10 9 9 9 10 10 10 10 05/30 12:56
類似的種排法不可能變多, 最多就106, 可用不等式解
先假設排法都是用 一排10或9 插空隙下去排 或直接上下直線排
那麼其實可以轉換成不等式來求解
一開始先做一個不失一般性的假設: 至少有一排會排滿10個硬幣
接著
1. 往上或往下是排空隙的話, 每次都會增長(根號3)/2 的高度, 且同方向每排兩排增加19個硬幣
2. 往上或往下非排空隙的話, 每次都會增長 1 的高度, 且 每排一排增加10個硬幣
(其中1沒理由上下都增加奇數排, 因為這樣不如挪一排至另一邊, 高度增加相同, 硬幣多排1枚)
所以就是滿足 10 <= 1 + [(3^1/2)/2]*x + 1*y , x,y屬於N
求 f(x,y) = 10 + [x/2]*19 + [x%2]*9 + y*10最大值
可求出當x=8,y=2有最大值106
但是~! 是否此種排法可確定為最佳排法!? 其實不一定
ex: 假設正方形邊長為1.75, 硬幣直徑為1, 則用上述方法最多只可放一枚
可是事實上卻可放2枚, 放在對角線上
不過我猜測此題目應該不會出現這種排法可排更多的情況發生啦...
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◆ From: 114.34.208.4
※ 編輯: ownlai 來自: 114.34.208.4 (05/30 18:59)
推
05/30 23:48, , 1F
05/30 23:48, 1F
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05/30 23:49, , 2F
05/30 23:49, 2F
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