Re: [其他] legendre polynimal的完整性證明?

看板Math作者herstein (翔爸)時間14年前 (2011/05/25 02:35)推噓3(3推 0噓 0→)

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※ 引述《lyndon918 (靈頓918)》之銘言： : 跪求版上大神 : 如何證明勒讓德多項式的完整性? : 查了幾本原文書(boyce、 cullen、 kreyszig等) : 發現都沒有這個證明(正交性證明很常見，不知為何沒有證明完整性) : 很想知道如何證明@@ : 或者有大大知道應該查哪本書裡會有 : 感激不盡! : 附上完整性的定義: : 考慮區間[a,b]上的一組正交特徵函數{P_n(x)}，對一在區間中性質不比間斷連續差的函數 : b N 2 : f(x)，使得 lim S [f(x)- sigma(c_n P_n(x))]=0 恆成立，則稱此正交特徵函數在 : N->OO a n=1 : [a,b]上具有完整性。 b : S f P_n(x) dx : a : 其中c_n= ----------------- : b 2 : S P_n(x) dx : -- a : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 基本上這個完整的證明需要用到Weierstrass Approximation Theorem(任何定義在有界閉區間上的函數都可以被多項式一致逼近)。任何片段連續的函數，跟連續函數的差異只有一點點，所以你可以用連續函數逼近片段連續的函數。所以是做兩個逼近。假如你的f是原給定的函數，給一個正數ε，取一個連續函數g使得 b ∫ |f(x)-g(x)|^2 dx <ε^2/4 a 再利用多項式的稠密性可知，可以找到一個多項式p使得 max |g(x)-p(x)|< ε/2 x in [a,b] 所以你可以先證明這個定理對多項式對，接著證明此定理對連續函數對，最後再利用平方積分的最小平方的性質(least square)證明對一般的函數對。這證明應該在Hilbert and Courant的Method of Mathematical Physics有。基本上其他直交函數的完備性證明都是類似於這種方法，而函數的逼近是利用更廣義的Stone-Weierstrass定理證明。還有另外一種可以利用分析學上的一個技巧"Approximation of Identity"。這也可以。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 169.237.31.142

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Lindemann

05/25 02:36, , 1^F

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newton2009

05/25 10:26, , 2^F

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lyndon918

05/26 02:14, , 3^F

05/26 02:14, 3^F