[微積] 可微分性的充分條件

看板Math作者 (...)時間14年前 (2011/05/22 23:16), 編輯推噓7(7推 0噓 35→)
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各位前輩好，今日又要來麻煩各位前輩了 課本中有段句子看不怎麼懂，想請各位前輩們指點。 Larson 8th 微積分的 Section 13.4 Differentials 提到： However, for a function of two variables, the extstence of the partial derivatives fx and fy does not guaratee that the function is differentiable. ( 雙變數函數存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保證這個雙變數函數是可微分的 ) 之後課本寫到 The following theorem gives a sufficient condtion for differentiably of a function of two variables. == Theorem 13.4 Sufficient Condition for Differentiability If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous in an open region R, then f is differentiable on R. 這定理是「可微分性的充分條件」 充分條件的定義為： 如果Ａ為前項，Ｂ為後項，則：有Ａ一定有Ｂ，但沒有Ａ則不一定有Ｂ（或沒有Ｂ） 這個定理的前項是 If f is a function of x and y, where fx and fy are continuous in an open region R 後項是 than f is differentiable on R 如果有「f(x,y), fx and fy are continuous in an open region R」 那就一定有「f is differentiable on R」 那課本在之前所說的： ( 雙變數函數存在 fx 和 fy 的偏微分，不能保證這個雙變數函數是可微分的 ) 不就很奇怪嗎？ ======================== 如果fx、fy偏微分存在 不也就代表了fx and fy are continuous in an open region R 那這樣不就一定會「f is differentiable on R」 怎麼又「不能」保證這個雙變數函數是可微分的？ 如果不能保證，那充分條件又怎麼能成立呢？ 不知道各位前輩們了不了解我的問題在哪，表達能力不太好 Orz 希望前輩們能替我指點迷津，再次感謝您們～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.125.169.71
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05/22 23:21, , 1F
fx,fy不見得連續
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05/22 23:30, , 2F
但是偏微分存在，不就代表連續嗎？
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05/22 23:32, , 3F
偏微分的存在跟原函數或偏微分的連續皆無關
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推
05/22 23:36, , 4F
多變數函數的連續是要對任何走到該點的路徑都連續，
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05/22 23:36, , 5F
感謝兩位前輩，我在陳立的微積分書籍看到了
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05/22 23:37, , 6F
而偏微分只討論"沿著平行某條座標軸的路徑"的情況
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05/22 23:38, , 7F
fx(a,b)、fy(a,b)存在，不一定f(x,y)在(a,b)可微分
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05/22 23:39, , 8F
f(x,y)在(a,b)可微分，一定fx(a,b)、fy(a,b)存在
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05/22 23:40, , 9F
所以說這個定理主要是要強調
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fx and fy are continuous，除了fx fx存在以外，
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還要在開區間中連續，這樣 f 才可以微分是嗎？
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應該是說除了fx fy存在以外，f要在開區間中連續
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推
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原文的意思就是兩個一階偏微分連續啊...
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喔喔，原來是兩個一階偏微分連續
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兩個一階偏微分存在，有可能兩個一階偏微分不連續嗎
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推
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For example, f(x,y)=(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)).
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check if fx and fy exist and if f is cont.at(0,0)
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更正，上面的函數定義在(x,y)≠(0,0), f(0,0)=0
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原來如此，我一直把偏微分存在 = 偏微分連續
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05/22 23:57, , 20F
這兩個不同的想法混為一談，真是大錯特錯Orz
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再次感謝mk426375前輩～
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推
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沒人注意到"than"嗎 XDDDD
05/23 00:11, 22F
推
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我只發現有一些英文單字打錯XD
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※ 編輯: andy2007 來自: 140.125.169.71 (05/23 10:21)
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05/23 10:22, , 24F
尷尬！趕緊改回來
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附上高老師的解釋 http://ppt.cc/SK3O
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不好意思再問個問題：定義所說的 fx and fy are
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continuous in an open region R 的意思是
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fx和fy要在開區間中連續，這裡的意思是二階偏微分要
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存在，fxy(x,y) = fyx(x,y) 是嗎？
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或是說只要fx、fy極限值等於fx、fy函數值就可以了？
05/23 14:06, 30F
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找到答案了，fx、fy在開區間中的任意(a,b)點
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極限值等於函數值，就是fx、fy連續了
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感覺好像又有錯誤，極限存在不一定連續，但是可微分
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05/23 14:37, , 34F
就一定連續，所以應該是fxy(x,y) = fyx(x,y)才對
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推
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極限值等於該點函數值就是連續了
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謝謝前輩，但是極限存在不一定連續，是否要把這種
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05/23 14:50, , 37F
情況排除掉比較好呢？
05/23 14:50, 37F
推
05/23 15:29, , 38F
為什麼f(a,b)可微分 fx(a,b)或fy(a,b)不一定存在？
05/23 15:29, 38F
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05/23 15:30, , 39F
fx(a,b)和fy(a,b)不就是f(a,b)沿著 x = c 或 y = c的
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方向微分的值嗎？既然各個方向都連續可微 沒道理偏x
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05/23 15:30, , 41F
和偏y不存在吧
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05/23 15:31, , 42F
歹勢看錯行 多看了一個「不」字
05/23 15:31, 42F
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