Re: [微積][機率] 求兩個指數分佈函數的聯合特徵函 …
※ 引述《a81288653 (Bow)》之銘言：
: ※ 引述《jcjj (珍惜我們的緣份)》之銘言：
: : 假設有兩個獨立的指數分佈隨機變數，X 及 S。當x>0及s>0時，其機率密度函數分別為
: : f(x)=a*exp(-ax), g(s)=b*exp(-bs), 其中a>0, b>0 均常數。
: : 其他情況則f(x)=0且g(s)=0。
: : 以下是我所推導的聯合特徵函數(推導到一半就推不下去了)：
: : C(c) = Expectation{ exp(cxs) }
: : inf inf
: : = $ $ exp(cxs) f(x) g(s) dx ds
: : 0 0
: : inf inf
: : = ab $ exp(-bs) $ exp(cxs-ax) dx ds
: : 0 0
: : inf 1
: : = ab $ exp(-bs) ---------- ds
: : 0 a-cs
: : 然後我就不知道怎麼積了................
: : 雖然看起來很像拉氏轉換的積分，不過我找了工數的積分表，好像都沒有可以套用
: : 的公式。所以想請教各位高手幫忙，謝謝。
: 離考完有段時間了，如果解錯還請大家鞭小力點
: (1).
: 根據觀察，原PO對聯合特徵函數的定義似乎有錯
: 今有隨機變數X,Y
: t1X t2Y
: 其聯合動差函數M(t1,t2) = E[e e ]
: jω1X jω2Y
: 其聯合特徵函數C(ω1,ω2) = E[e e ] = M(t1=jω1,t2=jω2)
: (2).
: 要求特徵函數，個人習慣由動差函數出發，再將t代換成jω就好
: 設r.v's X,Y為參數為α,β且互相獨立的指數分佈
: -αx -βy
: 其PDF為f(x)=αe u(x)，g(y)=βe u(y)，其中u(x)為步階函數
: t1X t2Y t1X t2Y
: M(t1,t2) = E[e e ] = E[e ]E[e ](∵r.v's X,Y互相獨立)
: αβ
: =--------------- ; t1<α & t2<β ROC
: (α-t1)(β-t2)
: (積分過程不難，麻煩請原PO自己算一遍)
: αβ
: C(ω1,ω2) = M(t1=jω1,t2=jω2) = --------------------
: (α-jω1)(β-jω2)
多謝指正，我對聯合特徵函數的定義的確有錯，
其實我要算的東西應該不是叫聯合特徵函數。
我再重新把我要算的東西講一遍：
有一個新的隨機變數 Z ，其定義為：Z=X*S
然後要求出這個新的機率密度函數q(z) 的動差生成函數。先前有誤導之處，還請見諒。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.27.56
→
05/19 02:47, , 1F
05/19 02:47, 1F
→
05/19 02:48, , 2F
05/19 02:48, 2F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：