Re: [微積][機率] 求兩個指數分佈函數的聯合特徵函 …
※ 引述《jcjj (珍惜我們的緣份)》之銘言：
: 假設有兩個獨立的指數分佈隨機變數，X 及 S。當x>0及s>0時，其機率密度函數分別為
: f(x)=a*exp(-ax), g(s)=b*exp(-bs), 其中a>0, b>0 均常數。
: 其他情況則f(x)=0且g(s)=0。
: 以下是我所推導的聯合特徵函數(推導到一半就推不下去了)：
: C(c) = Expectation{ exp(cxs) }
: inf inf
: = $ $ exp(cxs) f(x) g(s) dx ds
: 0 0
: inf inf
: = ab $ exp(-bs) $ exp(cxs-ax) dx ds
: 0 0
: inf 1
: = ab $ exp(-bs) ---------- ds
: 0 a-cs
: 然後我就不知道怎麼積了................
: 雖然看起來很像拉氏轉換的積分，不過我找了工數的積分表，好像都沒有可以套用
: 的公式。所以想請教各位高手幫忙，謝謝。
離考完有段時間了，如果解錯還請大家鞭小力點
(1).
根據觀察，原PO對聯合特徵函數的定義似乎有錯
今有隨機變數X,Y
t1X t2Y
其聯合動差函數M(t1,t2) = E[e e ]
jω1X jω2Y
其聯合特徵函數C(ω1,ω2) = E[e e ] = M(t1=jω1,t2=jω2)
(2).
要求特徵函數，個人習慣由動差函數出發，再將t代換成jω就好
設r.v's X,Y為參數為α,β且互相獨立的指數分佈
-αx -βy
其PDF為f(x)=αe u(x)，g(y)=βe u(y)，其中u(x)為步階函數
t1X t2Y t1X t2Y
M(t1,t2) = E[e e ] = E[e ]E[e ](∵r.v's X,Y互相獨立)
αβ
=--------------- ; t1<α & t2<β ROC
(α-t1)(β-t2)
(積分過程不難，麻煩請原PO自己算一遍)
αβ
C(ω1,ω2) = M(t1=jω1,t2=jω2) = --------------------
(α-jω1)(β-jω2)
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※ 編輯: a81288653 來自: 122.117.119.191 (05/17 10:24)
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