Re: [線代] 試證 hermitian矩陣具有此性質
※ 引述《pennyleo (落日黃花)》之銘言：
: 標題: [線代] 試證 hermitian矩陣具有此性質
: 時間: Tue May 3 20:14:26 2011
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: 考慮一N階hermitian矩陣
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: 試證
: 此hermitian矩陣 必定存在n個互為正交的eigenvector
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: 這個證明應該沒有很難
: 但小弟的數學並不是很好
: 想請版上的朋友幫忙
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: 我前日問過這個證明的逆證明
: 我想要確定這個性質的充要條件
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: 謝謝
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: ◆ From: 134.208.23.94
: ※ 編輯: pennyleo 來自: 134.208.23.94 (05/03 20:17)
: 推 scan33scan33:所以你要證明兩個方向唷？ 05/03 20:24
: 推 sa12e3 :我記得劉?昌還是什麼名字 大學補教界名師的 線性代數 05/03 20:51
: → sa12e3 :前面就有~ 去圖書館找找~ 05/03 20:52
: → sa12e3 :沒記錯的話是這樣 有錯請見諒! 05/03 20:52
: 推 G41271 :線代課本就有了吧 05/03 20:53
: 推 scan33scan33:頻譜定理:) 05/03 21:01
: 推 math1209 :Using Schur thm, it's a result of normal matrices 05/03 21:12
那我來順一下證明好了。
Schur 分解：對所有 n*n的複數矩陣 A ，存在n*n unitary矩陣Q，使得 A = QTQ*
其中 T 是上三角矩陣。
<證明> (數學歸納法)
當n = 1, Q = [1], Q* = [1], T = A 假設成立
假設n = k, 成立
當n = k+1,
因為 det(A - \lambda I) by 代數基本定理必有一解，
所以 A有一個eigenvalue g 以及其 eiganvector v (normalized to unit length)
那存在U=[v u2 u3 ... un]是一個unitary matrix 且 span C^n
那 AU = [Av Au2 Au3 ... Aun]
= [gv Au2 ... Aun]
= U [ v w^T
0 B ] for some w and B.
( 因為B是k階矩陣，所以by 數學歸納假設
B = VSV* for some unitary matrix V and some 上三角矩陣 S )
= U [ v w^T
0 VSV*]
= U [0 0 [v w^T [0 0
0 V] 0 S ] 0 V*]
------- ------
Q T
所以選Q,T如上，在k+1的case也成立。
故得證
==
那看看 漢米爾頓矩陣： (當A=A*)
By Schur分解：
A = QUQ* for some Q unitary, U是上三角。
A* = QU*Q*
AA = QU^2Q*
AA* = QUQ*QU*Q = QUU*Q
所以，U=U*
因為U是上三角,又他的共軛轉置就是他自己 ==> U是對角，而且其值都是實數
所以我們得到 A = QUQ*,
令U = diag(u1,u2,...,un)
Q = [q1 q2 ... qn]
那 Aqi = QUQ*qi = Q [0 .. 0 ui 0 .. 0]^T = uqi.
這些qi都是eigenvector ui是eigenvalue
且他們正交。
得證.
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05/09 20:13, , 1F
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