Re: [微積] 問極限- [ M / (1*2*...*n) ] ^ (1/n)
※ 引述《joshuakai (joshuakai)》之銘言：
: M是一常數
: lim [ M / (1*2*...*n) ] ^ (1/n)
: n->∞
: 憑感覺猜測是0, 不過不會算
: 不用詳細過程提供關鍵字也可以
: 若有人答出先說聲謝謝=_=
繼續騙~~
如果你知道stirling formula 這個只是簡單的習題
n!~(2π)*n^{n+1/2}*e^{-n}
=>n!^{1/n}~ n*e^{-1}
因此 lim [ M / (1*2*...*n) ] ^ (1/n)=lim M^(1/n)* lim e/n=1*0=0
如果你不會這個公式
我建議你用夾擠定理
大約步驟是這樣
log {n!}^{1/n}=Σlogk/n k 從1 到 n
觀察這個跟黎曼和有關
所以你可以知道可以有個下界(∫log k dx)/n 從1積到n-1
你就有
0< 所求< lim M^{1/n}*lim (∫lox dx/n)^{-1} 從1積到n-1
一夾擠
一樣可以得到相同的結果
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