Re: [中學] 三次多項式求切線 要用到微分
※ 引述《imokman (胡)》之銘言：
: 設三次多項式f(x)=x^3-x^2 ,a為實數
: (1)若過點P(a,0)且與y=f(x)圖形相切的直線恰有一條，求a的範圍
: (2)若過點P(a,0)且與y=f(x)圖形相切的直線恰有兩條，求a的範圍
: 出處:全國數甲模考
: 感謝!!
設切點(t,t^3-t^2)，此時過此切點之切線為
y-(t^3-t^2) = m(x-t)
其中 m=f'(t)=3t^2-2t，且此線也過P點
0-(t^3-t^2) = (3t^2-2t)(a-t)
=> -t^3+t^2 = 3at^2-3t^3-2at+2t^2
=> 2t^3+t^2(-1-3a)+2at = 0
=> t(2t^2-(1+3a)t+2a) = 0
=> t=0 或 2t^2-(1+3a)+2a=0
(因為a為實數，此時t之二次方程解為兩實根或兩虛根或一實根)
(1)
恰為一條切線，即t只能有一組解，則t=0且D<0
=> (1+3a)^2-16a < 0
=> 9a^2-10a+1 < 0
=> (9a-1)(a-1) < 0
=> 1/9 < a < 1
(2)
恰為兩條切線，則t=0且D=0
a= 1 or 1/9
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