Re: [複變] Fresnel integrals

看板Math作者rachel5566 (rachel5566)時間13年前 (2011/04/09 18:54)推噓0(0推 0噓 7→)

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※ 引述《keroro321 (日夕)》之銘言： : c : 你提到的例子如何利用 : s 1 : ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt ........ : 0 0 : 1 1 1 : ∫exp(isz^2)dz = ∫cos(st^2)dt + i∫sin(st^2)dt...(1) : 0 0 0 : f(z)=i(z^2) , f'(z)=2iz , f''(z)=2i . : z=0 is a saddle point ..........................(2) : α=π/2 - [arg(f''(0))]/2 = π/4 ...............(3) : ( i*(t(1+i))^2 = -2t^2 !!) : Re(f(0)-f(z)) = -2xy............................(4) : 綜合(1)(2)(3)(4)以上結果我們可以去選取contour C 為 : 扇型 (半徑為1, 角度 0～π/4) 去掉實數軸 : (借用你畫過的圖 ) : y : ↑ : │ : │ ╱╲ C = C1 + C2 : │ C1 ／ ↘ C2 : │ ↗ ﹨ C1:the path of steepest Descent : │╱ π/4 \ : └──────→ x : 由 Cauchy-Goursat Theorem 知道 : 1 : ∫exp(isz^2)dz = ∫exp(isz^2)dz : 0 C : 當 s → ∞ ___ : √2π × g(0) × exp(s*0) × exp(iα) : I(s) =∫exp(isz^2)dz ～ ──────────────── : C │ s * f''(0) │^(1/2) : ___ : = √π ( 1/√2 + i* 1/√2 ) * s^(-1/2) : s 1 : ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt = Re (sI(s^2)) : 0 0 : ___ __ : ～ ( √π / √2 ) : 之所以少多 "2" 倍的原因 , 是因為估計 I(s) 計算時是算路徑通過saddle point : 的兩側 , 而在這 C 只通過一側 . : 以上 , 是我想的解法 , 如有什麼問題或錯了 , 麻煩告訴我 ! 先謝謝您的回答抱歉，這麼晚才回復我拿到的解答是: s→∞ 2 __ １ _____ １１ ∫ cos x dx = √s (─√π/2s + ──cos(s) + ──sin(s) + ...) 0 ２ 4s^2 2s s→∞ 2 __ １ _____ １１ ∫ sin x dx = √s (─√π/2s － ──cos(s) + ──sin(s) + ...) 0 ２ 2s 4s^2 計算過程就不寫了，因為落落長我也看不懂 (￣￣;;) 我想問的是，這類的逼近法應該是因人而異的吧!? -- 作者 takuminauki (蚊子) 看板 Gossiping 標題 [爆卦] 蜘蛛精時間 Sun Apr 3 01:20:09 2011

推

ZMittermeyer

04/03 01:40,

04/03 01:40

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ZMittermeyer

04/03 01:41,

04/03 01:41

-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.211.87

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keroro321

04/09 19:31, , 1^F