Re: [複變] Fresnel integrals
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: Find the steepest path and leading asymptotic expansion for the Fresnel
: s s 1
: integrals ∫cos(x^2)dx, ∫sin(x^2)dx. Hint:Use ∫e^(isz^2)dz
: 0 0 0
: 這題完全不知道該怎麼下手，請各位指點一下
: 謝謝!
大概參考了一下
Arfken, Weber - Mathematical Methods for Physicists
--- Method of Steepest Descents ch7.4
符號大多都是與此書一樣.
稍微敘述此章節使用估計公式的條件 (也許會漏掉了什麼@@)
函數可以複變函數的路徑積分表達(通常路徑可以有些變動)
特別是帶有參數的函數積分
integrals ∫F(z,s)dz (介紹的是這類型∫g(z)exp(sf(z))dz )
c c
我們希望能得到當 s 很大時的積分值的行為. (統計或熱物理常用的n!)
當可以選取路徑滿足
(1)經過選取的saddle points Z0,..,Zn
(2)沿著適當的路徑 ---
1.在 Zi 附近就沿著 最陡下降路徑(the path of steepest Descent)
2.saddle points附近外的 就選 Re(f(z)-f(Zi))<0 (最好能有
upper negative bound)
那當 s 很大時∫g(z)exp(sf(z))dz 積分有一個簡單公式估計
c
你提到的例子如何利用
s 1
∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt ........
0 0
1 1 1
∫exp(isz^2)dz = ∫cos(st^2)dt + i∫sin(st^2)dt...(1)
0 0 0
f(z)=i(z^2) , f'(z)=2iz , f''(z)=2i .
z=0 is a saddle point ..........................(2)
α=π/2 - [arg(f''(0))]/2 = π/4 ...............(3)
( i*(t(1+i))^2 = -2t^2 !!)
Re(f(0)-f(z)) = -2xy............................(4)
綜合(1)(2)(3)(4)以上結果 我們可以去選取contour C 為
扇型 (半徑為1, 角度 0～π/4) 去掉實數軸
(借用你畫過的圖 )
y
↑
│
│ ╱╲ C = C1 + C2
│ C1 ／ ↘ C2
│ ↗ ﹨ C1:the path of steepest Descent
│╱ π/4 \
└──────→ x
由 Cauchy-Goursat Theorem 知道
1
∫exp(isz^2)dz = ∫exp(isz^2)dz
0 C
當 s → ∞ ___
√2π × g(0) × exp(s*0) × exp(iα)
I(s) =∫exp(isz^2)dz ～ ────────────────
C │ s * f''(0) │^(1/2)
___
= √π ( 1/√2 + i* 1/√2 ) * s^(-1/2)
s 1
∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt = Re (sI(s^2))
0 0
___ __
～ ( √π / √2 )
之所以答案會多 "2" 倍的原因 , 是因為估計 I(s) 計算時是算 路徑通過saddle point
的兩側 , 而在這 C 只通過一側 .
以上 , 是我想的解法 , 如有什麼問題或錯了 , 麻煩告訴我 !
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※ 編輯: keroro321 來自: 61.217.232.49 (04/08 00:13)
推
04/08 00:25, , 1F
04/08 00:25, 1F
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04/08 01:15, , 2F
04/08 01:15, 2F
※ 編輯: keroro321 來自: 61.217.234.19 (04/09 20:42)
討論串 (同標題文章)
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