Re: [中學] 99省二區1-3

看板Math作者 (topos)時間13年前 (2011/04/04 16:52), 編輯推噓10(10推 0噓 12→)
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※ 引述《ythung (費瑪連珠)》之銘言： : 設數列{a(n)}滿足：a(1)=a(2)=1及 : a(n+2)={[a(n+1)]^2+a(n+1)+1}/a(n), n=1,2,3,... : 試證：數列{a(n)}中任意相鄰兩項都是互質的整數。 遞迴數列很適合賺p幣 XD a(n+2)/a(n+1) ~ a(n+1)/a(n), 可以猜到 a(n+2)=k*a(n+1)+ ... 而前幾項為 1,1,3,13,51,.. 易見其滿足 a(n+2)=5a(n+1)-a(n)-1. 假設 a(k+2)=5a(k+1)-a(k)-1 對於 k=1,2,..,n-1 成立 則 a(n+2)=[a(n+1)^2+a(n+1)+1]/a(n) =[(5a(n)-a(n-1)-1)^2 + (5a(n)-a(n-1)-1) +1]/a(n) =25a(n)-10a(n-1)-5 + [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n) Note that [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n) = a(n-2), so a(n+2)=25a(n)-10a(n-1)-5 +a(n-2) =5(5a(n)-a(n-1)-1)-(5a(n-1)-a(n-2)-1)-1 =5a(n+1)-a(n)-1. Therefore, {a(n)} are all integers. Also, since a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1, gcd(a(n),a(n+1))=1. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 131.215.6.212
推
04/04 17:04, , 1F
好漂亮!!
04/04 17:04, 1F
推
04/04 17:22, , 2F
推
04/04 17:22, 2F
推
04/04 19:33, , 3F
a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1,why=>gcd(a(n),a(n+1))=1
04/04 19:33, 3F
→
04/04 19:34, , 4F
不太懂上面這行
04/04 19:34, 4F
→
04/04 19:39, , 5F
若gcd(a(n),a(n+1))=k,根據XX香雛髪,k|1,所以k=1
04/04 19:39, 5F
推
04/04 19:47, , 6F
香雛法XDDDDD
04/04 19:47, 6F
→
04/04 19:48, , 7F
樓上好糟糕
04/04 19:48, 7F
推
04/04 20:14, , 8F
請問大大如何確定a(n)是二階線性非齊次的遞迴方程？
04/04 20:14, 8F
→
04/04 20:16, , 9F
a(5)應該是61
04/04 20:16, 9F
推
04/04 20:24, , 10F
當然先猜再用induction證就算很完整了, 我問題在於
04/04 20:24, 10F
→
04/04 20:25, , 11F
如何判別線性與否? 齊次與否?
04/04 20:25, 11F
推
04/05 02:20, , 12F
跟snew大有同樣的疑問 為什麼a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1
04/05 02:20, 12F
→
04/05 02:21, , 13F
就能推出互質@@
04/05 02:21, 13F
→
04/05 03:40, , 14F
樓上的問題 請看5F
04/05 03:40, 14F
→
04/05 03:41, , 15F
@ythung:齊不齊次沒有一定, 如果把a(n)換掉,
04/05 03:41, 15F
→
04/05 03:42, , 16F
會得到 a(n+2)=5a(n+1)-5a(n-1)+a(n-2) 是齊次的
04/05 03:42, 16F
推
04/05 08:34, , 17F
嗯嗯 可以請教 XX香雛 是什麼意思嗎@@
04/05 08:34, 17F
推
04/05 09:32, , 18F
謝謝Sfly大大, 5F的回答為輾轉相除
04/05 09:32, 18F
→
04/05 09:34, , 19F
a(n+1)^2+a(n+1)+1=qa(n)=>k|[a(n+1)+1]a(n+1)-qa(n)
04/05 09:34, 19F
推
04/05 09:40, , 20F
其實只要有 a_(n+2)a_n=a_(n+1)^2+xa_(n+1)+y
04/05 09:40, 20F
→
04/05 09:40, , 21F
和 a_1=a_2=1, 那就會有 a_(n+2)=Ga_(n+1)-a_n-x
04/05 09:40, 21F
→
04/05 09:41, , 22F
這裡 G = 2x+y+2
04/05 09:41, 22F
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