Re: [微積] 一題微分方程(nonhomogeneous)
※ 引述《note35 (kir)》之銘言：
: Solve the linear DE
: y' + 2y = e^x(3sin2x + 2cos2x)
一階線性ODE
∫2dx 2x
(1) I= e = e
-2x -2x 2x x
(2) y = c e + e ∫ e e (3sin2x + 2cos2x) dx
-2x -2x 3x
= c e + e ∫e (3sin2x + 2cos2x) dx
-2x -2x 1 3x
= c e + e [--- e ( 3sin2x + 2cos2x) ]
D
-2x -2x 3x 1
= c e + e e ----- ( 3sin2x + 2cos2x)
D+3
-2x x D-3
= c e + e ------------ ( 3sin2x + 2cos2x)
(D+3)(D-3)
-2x x 1
= c e + e ------- ( 6cos2x - 4sin2x - 9sin2x -6cos2x)
(-13)
-2x x
= c e + e sin2x
: Solution:
: BY nonhomogeneous equation
: DE => y' + py = r => (py - r)dx + dy = 0
: F(x) = exp(∫pdx )
: DE => e^∫pdx (y' + py)
: = (e^∫pdx * y)' = e^∫pdx * r
: e^∫pdx * y = ∫e^(∫pdx) * rdx + c
: y(x) = e^-(∫pdx)*[∫e^(∫pdx) * rdx + c ]
: p = 2, r = e^x(3sin2x + 2cos2x) ∫pdx = 2x
: y(x) = e^(-2x)*[∫e^(2x) * e^x(3sin2x + 2cos2x)dx + c ]
: = e^(-2x)*[ e^(3x) * sin2x + c ]
: = c*e^(-2x) + e^x * sin2x
: 最近學微分方程,碰到有些積分問題,
: 如果從積分後式推回原式不難,但是反過就找不到很有效率的方法積分
: 這兩行黃字前者是公式推導,想問這過程積法
: 後者是計算,想問有沒有什麼訣竅之類的??
: 感謝...
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