Re: [複變] 複變積分兩題
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: 1. 題目是計算下面那個積分值，我的過程也寫在下面
: (a)
: ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx
: ∫ ────── = Re ∫──────
: -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2
: e^(iz) dz ∞ e^(ix) dx e^(iz) dz
: => ∮────── = ∫────── + ∫ ────── = 2iπa
: C z^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 Cr z^2 + a^2 -1
: 路徑C是從實軸負無限大積到無限大，再由無限大繞上半圓回去(Cr,r→∞)
: 而由Jordan's lemma，[1/(z^2 + a^2)]→0 當 |z|→∞，則無窮大上半圓積分值為0
: 計算residue:
: e^(iz) │ e^(-a)
: a = ─────│ = ────
: -1 z + ia │z=ia 2ia
這邊要注意的 因為你是在上半平面算 Residue 所以要記得要取 a>0
: 所以
: ∞ e^(ix) dx e^(-a) πe^(-a)
: ∫────── = 2iπ──── = ─────
: -∞ x^2 + a^2 2ia a
: ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx πe^(-a)
: ∫ ────── = Re ∫────── = ─────
: -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a
: 現在，如果將x取代成kx，那個答案應該會是:
: ∞ cos(kx) dx ∞ e^(ikx) dx πe^(-ka)
: ∫ ────── = Re ∫────── = ─────
: -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a
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單看函數是偶函數 就知道 k->-k
所以積分值應該一樣
但是你用複變方法做時 你 k -> -k 答案變了!
原因出在 當k<0 函數e^(ikz) 在上半圓半徑趨於∞是發散的
所以在這情況 (k<0) 路徑必須取下半圓
算 Residue 時也要注意是 (如果規定a>0) 是要算 Res(f,-ia)
πe^(-|ka|)
─────── 就應該是你最終答案
|a|
: 可是Mathematica給我的答案卻是: (詳解給的答案跟我的一樣)
: ∞ cos(kx) dx πcosh(ka)
: ∫ ────── = ──────
: -∞ x^2 + a^2 a
不要太相信軟體......參考用
Mathematica的在這的結果明顯就是(因為f(x)是偶函數)
它把你一開始答案:
∞ cos(kx) dx πe^(-ka)
g(k) = ∫ ────── = ──────
-∞ x^2 + a^2 a
∞ cos(-kx) dx πe^(ka)
g(-k) = ∫ ────── = ──────
-∞ x^2 + a^2 a
g(k) = g(-k) = (g(k)+g(-k))/2..............囧
: 請問我的過程哪裡有問題? 還是有什麼細節我沒注意到的呢?
: 還有第(b)小題也是類似的積分:
: ∞ x sinx dx
: ∫ ────── = πe^(-a)
: -∞ x^2 + a^2
: 而
: ∞ x sin(kx) dx
: ∫ ─────── = πe^(-ka)
: -∞ x^2 + a^2
這邊也是同樣問題
Mathematica 給你答案就是 (因為sin(-kx) = -sin kx)
∞ x sin(kx) dx
g(k) = ∫ ─────── = πe^(-ka)
-∞ x^2 + a^2
∞ x sin(-kx) dx
g(-k) = ∫ ─────── = πe^(ka)
-∞ x^2 + a^2
g(k) = -g(-k) = (g(k)-g(-k))/2..............囧
: Mathematica給我的答案，上面那個是對的，但下面的積分值卻是-πsinh(ka)
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推
03/25 12:40, , 1F
03/25 12:40, 1F
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