[複變] 複變積分兩題

看板Math作者rachel5566 (rachel5566)時間15年前 (2011/03/25 00:26)推噓2(2推 0噓 10→)

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1. 題目是計算下面那個積分值，我的過程也寫在下面 (a) ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx ∫ ────── = Re ∫────── -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 e^(iz) dz ∞ e^(ix) dx e^(iz) dz => ∮────── = ∫────── + ∫ ────── = 2iπa C z^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 Cr z^2 + a^2 -1 路徑C是從實軸負無限大積到無限大，再由無限大繞上半圓回去(Cr,r→∞) 而由Jordan's lemma，[1/(z^2 + a^2)]→0 當 |z|→∞，則無窮大上半圓積分值為0 計算residue: e^(iz) │ e^(-a) a = ─────│ = ──── -1 z + ia │z=ia 2ia 所以 ∞ e^(ix) dx e^(-a) πe^(-a) ∫────── = 2iπ──── = ───── -∞ x^2 + a^2 2ia a ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx πe^(-a) ∫ ────── = Re ∫────── = ───── -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a 現在，如果將x取代成kx，那個答案應該會是: ∞ cos(kx) dx ∞ e^(ikx) dx πe^(-ka) ∫ ────── = Re ∫────── = ───── -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a 可是Mathematica給我的答案卻是: (詳解給的答案跟我的一樣) ∞ cos(kx) dx πcosh(ka) ∫ ────── = ────── -∞ x^2 + a^2 a 請問我的過程哪裡有問題? 還是有什麼細節我沒注意到的呢? 還有第(b)小題也是類似的積分: ∞ x sinx dx ∫ ────── = πe^(-a) -∞ x^2 + a^2 而 ∞ x sin(kx) dx ∫ ─────── = πe^(-ka) -∞ x^2 + a^2 Mathematica給我的答案，上面那個是對的，但下面的積分值卻是-πsinh(ka) 2. 一個很常見的積分，一般都是用重積分和極座標的技巧解: ∞ ∫ e^(-x^2)dx = √π -∞ 我用類似1.的路徑去積分，得到的積分值卻是0 請問這題可以怎麼用複變的方法解呢? 先感謝各位的解答m(_ _)m -- Maxwell's equations in the matter: ┌───┐ ┌───┐ ┌──────┐┌──────┐┌────┘ → │┌──────┘ → │ │ → ││ → ││ → δＢ ││ → → δＤ │ │ ▽‧Ｄ = ρ││ ▽‧Ｂ = 0 ││▽╳Ｅ = －── ││ ▽╳Ｈ = Ｊ + ── │ │ f││ ││ δt ││ f δt │ └──────┘└──────┘└────────┘└──────────┘ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.211.87

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