Re: [代數] 請教一題ideal
※ 引述《superlori (雪夜，好久不見)》之銘言：
: Let I be the ideal generated by 5 in Z[√-3].
: Is I a prime ideal?
: Is I a maximal ideal?
: (1)
: 我覺得5是prime element in Z[√-3]
: 但要怎麼證明呢?
: 剛爬了一下文...好像是要用norm?
Z[√-3] 裡的元素都寫成 a+b√-3的樣子 a,b是整數
令 N(a+b√-3) =a^2 + 3b^2
可以推出 如果α是5的倍數 那麼 N(α)也是5的倍數
N(a+b√-3)N(c+d√-3)=N((a+b√-3)(c+d√-3))
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If α=a+b√-3 β=c+d√-3 a,b不全是5的倍數 c,d不全是5的倍數
=> N(a+b√-3)=a^2 + 3b^2 不是5的倍數
N(c+d√-3) 不是5的倍數
=> N((a+b√-3)(c+d√-3)) = N(a+b√-3)N(c+d√-3) 不是5的倍數
因此 (a+b√-3)(c+d√-3) 不是5的倍數
所以 5 is a prime
: (2)
: 我只有寫出5在Z[√-3]裡是一個irreducible element.
: 可以說 I=(5) 就是一個maximal ideal嗎?
: 我記得要Z[√-3]PID才可以推得
: 請問這題要怎麼證呢?
直接爆破法
證Z[√-3]]/(5) 是field
下面是每個非0元素的乘法反元素 in Z[√-3]]/(5)
2*3 =6 =1
4*4 =16 =1
(√-3)*(3√-3)=-9 =1
(2√-3)(4√-3)=-24 =1
(1+√-3)(4+√-3)= (1+√-3)(4-4√-3)=4(1+√-3)(1-√-3) =1
(1+2√-3)(2+√-3)=(1+2√-3)(2-4√-3)=2(1+2√-3)(1-2√-3)=1
(1+3√-3)(2+4√-3)=2(1+3√-3)(1-3√-3)=1
(1+4√-3)(4+4√-3)=4(1+4√-3)(1-4√-3)=1
(2+2√-3)(2+3√-3)=1
(3+√-3)(4+2√-3)=1
(3+2√-3)(3+3√-3)=1
(3+4√-3)(4+3√-3)=1
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其實只要找完 1 2 3 4 的反元素就夠了
a+b√-3的情況
(a+b√-3)(a-b√-3)= a^2 + 3b^2 當a,b都不是5的倍數時 a^2 + 3b^2 也不是5的倍數
所以 (a+b√-3)(a-b√-3)再去乘 a^2 + 3b^2 的反元素就可以得到1了
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: 麻煩大家指點一下
: thx
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