Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 6.
: 證明n邊形中 若周長相等 則 面積最大者為正n邊形
反證法
設ABC...H 為n邊形頂點 且它不是正n邊形
則至少有兩個邊 是不等長且相鄰
可設為 AB 及 BC
取B'為 AB'=B'C=(AB+BC)/2
則 AB'C...H 為n邊形 周長與 ABC...H 相等 但面積較大
得證
: 7.
: 設f(x)為一有理係數的五次多項式，且對所有整數n>=5 f(n)均為整數
: 試證明存在整數m n p q r t
: x x x x x
: 使得f(x) = mC +nC +pC +qC + rC + t
: 5 4 3 2 1
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◆ From: 112.104.172.107
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03/12 18:07,
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03/12 19:04,
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03/12 19:06,
03/12 19:06
由於Sfly的指正
我們把後續的問題進一步處理
前面我們已經證明 n邊形必須是等邊形才可能是最大
現在 我們要證明等角(n≧5, n=3,4很容易)
不妨假設 n邊形 ABCDE...H 的邊長均為1
固定A,D,E...H 但是 B,C 可動, 考慮四邊形ABCD的面積
AB=BC=CD=1, 令AD=b為定值(b≧1,否則是凹多邊形)
令∠ABC=β, ∠CDA=δ
則四邊形ABCD面積K為
(1/2)sinβ+(1/2)b sinδ=K.............(1)
限制條件由CA的長度給出
[2 sin(β/2)]^2=(b-cosδ)^2+sin^2 δ
即
2(1-cosβ)=b^2-2b cosδ+1.............(2)
(1),(2) 可整理成
sinβ+b sinδ=2K...................(3)
-cosβ+b cosδ=(b^2-1)/2............(4)
(3式)^2+(4式)^2 得
1-2b cos(β+δ)+b^2=4K^2+(b^2-1)^2/4
故 K 的極大值 發生在 cos(β+δ)=-1
β+δ=π
證畢
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◆ From: 112.104.170.38
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.170.38 (03/13 19:21)
推
03/13 20:40, , 1F
03/13 20:40, 1F
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