Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 7.
: 設f(x)為一有理係數的五次多項式，且對所有整數n>=5 f(n)均為整數
: 試證明存在整數m n p q r t
: x x x x x
: 使得f(x) = mC +nC +pC +qC + rC + t
: 5 4 3 2 1
這題不難
但條件 "對所有整數n>=5 f(n)均為整數" 讓整件事複雜一點點.
先求多項式 g(x)=m'C(x-5,5)+n'C(x-5,4)+...+r'C(x-5,1)+t'
使 g(x)=f(x) for x=5,6,7,8,9,10
依序帶入 x=5~10
可得 t',...,n',m' 皆為整數
比較次數, f(x)=g(x).
然而, C(x-5,k)=(-1)^kC(k+4-x,k) for x<5.
因此, 對於所有整數n, f(n) (=g(n)) 皆為整數
從而 f(x-5) 滿足題目條件
套用上面的結果, f(x-5)=mC(x-5,5)+nC(x-5,4)+...+rC(x-5,1)+t
ie. f(x)=mC(x,5)+nC(x,4)+..+t
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※ 編輯: Sfly 來自: 131.215.6.212 (03/13 08:15)
推
03/13 20:36, , 1F
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