Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 2.
: 設A為3x3的方陣。
: 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| (兩個向量外積的絕對值)
: (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1，
: 證明 Au x Av 和 Au x Aw也是互相垂直且長度為 1
: (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立
let A =[x y z] where x, y, z are column matrices
let u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t
then
|x×y|=|y×z|=|z×x|=1
let u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t
then |(x+z)×y|=√2
|x×y+z×y|=√2
by Pythagorean Theorem
(x×y) and (y×z) are othogonal
Similarly, (x×y)=e3, (y×z)=e1, (z×x)=e2 are all othonormal
[(y×z)^t] [x y z]=[x.(y×z) 0 0]
[(z×x)^t] [0 y.(z×x) 0]=x.(y×z) I
[(x×y)^t] [0 0 z.(x×y)]
hence x=(x.e1) e1
y=(y.e2) e2
z=(z.e3) e3
then x=±e1, y=±e2, z=±e3
then A.A^t=I
Done.
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◆ From: 112.104.207.203
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哪裡?
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.207.203 (03/11 23:47)
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