Re: [中學] 算幾不等式的右邊可否為未知數
※ 引述《pop10353 (卡卡:目)》之銘言：
: EX.
: 題目為
: 兩變動三角形的面積和之最小值
: 5*(20-X)*(1/2)+X*[5X/(20-X)]*(1/2)
: 其中20>X>0
: 整理後 X^2
: (5/2) *[ _____ + (20-X) ]
: 20-X
: >= (5/2) * 2X
: 因為"=" 成立時 元素須均等 limit存在
: X^2
: _____ = (20-X) => 算出 X=10 帶回原式
: 20-X
: MIN = 50
: 請問....矛盾點在??
: 我想了很久.... 老師說我固執... 唉 我也不想---
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第一篇回文的大大已經有說到重點了
除了手癢想畫一下圖外 XD
還有針對標題提出自己的看法
假設欲求 y = f(x) 在 region D 上的最大(小)值
若用一些常用的不等式推論出 f(x) ≧ m for all xεD
"假如" 等號成立的時候可以找到一(些) x
( 或是證明存在一數 kεD, 使得 f(k)=m , 但表示不出 k 的 form )
根據 minimum 的定義， f(k) 即為 f(x) 在 D 下的最小值
但若你得到的 form 是: f(x) ≧ g(x) , g(x) is a function of x
如下圖所示:
y ∕ y = f(x)
↑ ∕
│ ∕
│ ／＿＿ y = g(x)
＼│ ╭╮ ／∕
＼ ／ ＼ ／ ∕
│╳ ╭╮ ＼／ ／
／ ╰╯ ＼ ／
／│ ＼／
│
─────┼────────┼──────→ x
k p
←────────→
region D
若求解 f(x)=g(x) in D
會得到 x = p 這個值 ( 圖畫有點爛＝＝a )
但這個動作並不保證 f(x) ≧ f(p) for all xεD
因為由圖中易知 f(p)≧f(x) for all xε[k,p]
( 以此例子而言， f(x) 的 min = f(k) )
-------------------------------------------------------------------------------
所以是否以後求極值問題
不等式盡量不要雙邊出現都未知變數 ?
我覺得要看你用的如何、以及你所想解決的問題適不適用
假設隨便舉一個問題:
find the maximum value of f(x) = 2√(2x-1) + (1/x) - x for x≧(1/2)
像這種單變數函數，找的到不等式就下去湊
找不到就用微分硬幹求解
但也可以利用算幾不等式下去求:
x + [2 - (1/x)] ≧ 2√(2x-1)
→ 2 ≧ 2√(2x-1) + (1/x) - x = f(x)
所以 max{f(x)} = 2 , 等號成立於 x = 2-(1/x) (or x=1)
會發現上面的例子所使用的算幾不等式
其不等式左右兩邊都為 x的函數
但是可以很漂亮的解決該問題 !
這類技巧在很多學科競賽的題目中，有時候都可以用的上
只要你腦筋動得夠快，或是你本身就是出題老師 XD
除了解這類問題
有時候得到如 f(x) ≧ g(x) 這種式子
可以拿來分析問題 ( 例如 Asymptotic Notation )
f(x) 或許在分析上非常的複雜
但若找到一個函數 g(x) 可以 bound 住 f(x)
但 g(x) 相對上容易分析
或許可以由 f(x) ≧ g(x) 這個不等式，藉由分析 g(x)
來抽出 f(x) 可能也具備何種特性
所以也不要有先入為主的觀念
認為得到 "f(x) ≧ g(x)" 就一定沒任何用處
得端看你在處理何種問題
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推
02/27 20:27, , 1F
02/27 20:27, 1F
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