Re: [微積] f(x+y) = f(x)f(y) implies f(x) = a^x

看板Math作者ranger25 (ranger25)時間15年前 (2011/02/13 10:31)推噓1(1推 0噓 8→)

留言9則, 2人參與討論串3/4 (看更多)

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言： : ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言： : : f(x) differentiable on (-∞,∞) : : with f(x+y) = f(x)f(y) : : prove that f(x) = a^x for some a : : (Hint: ln f(x) must have constant derivitive) : : 我做 f'(x) f'(y) : : grad ln f(x+y) = (------ , ------ ) : : f(x) f(y) : : f'(x) : : 但是還是看不出來 ----- 是constant : : f(x) : : 請問這題要怎麼做呢? : 提供另外一個方法試試看好了 : 2 : f(0)=f(0+0)=f(0) : =>f(0)=0 or 1 : Case 1: : If f(0)=0 them f(x)≡0 for all x in R.....done : Case 2: : if f(0)=1 : for n \in N n : f(n)=f(1+1+...+1)=f(1) : ￣￣￣￣n times : 1=f(0)=f(1+(-1))=f(1)*f(-1) : -1 : => f(-1)=f(1) : Hence for n be negtive integer : -n -1 -n n : f(n)=f((-1)*(-n))=f(-1)*f(-n)=f(-1)*f(1) =f(1) * f(1) =f(1) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 應該改成f(-1)^-n=(f(1)^-1)^-n=f(1)^n : 1 1 1 1 m : Moreover, f(1)=f(--- + --- + ...+---) = f(---) : m m m m : ￣￣￣￣￣￣￣￣m times : 1 : (---) : 1 m : hence f(---)=f(1) : m : n 訂正 --- n 1 n m finally, f(---)=f(---) =f(1) m m : 到此我們做完全部的有裡數的部份 : therefore, for r be a irrational number there exists a seq {x_n} ,where x_n : are all rational number such that x_n->r : and f is diff => f is conti : Hence : x_n r : f(r)=lim f(x)= lim f(x_n)= lim f(1) =f(1) : x->r n->inf n->inf : let f(1)=a, we are done : ＝＝＝ : 這作法是模仿線性的XDD : f(x+y)=f(x)+f(y) 很厲害^^b 請問就CASE1而言，f(x)≡0怎麼說明f(x)=a^x？ a=0？可是0^0不存在啊 ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.134.181.173 ※ 編輯: ranger25 來自: 220.134.181.173 (02/13 10:49)

推

jacky7987

02/13 11:04, , 1^F

02/13 11:04, 1^F

→

jacky7987

02/13 11:04, , 2^F

02/13 11:04, 2^F

→

jacky7987

02/13 11:05, , 3^F

02/13 11:05, 3^F