Re: [中學] 請教一題三角
※ 引述《Eleazer (DSS & Sim Lab)》之銘言：
: ΔABC中，sinA + sinB + sinC 之最大值M=?
: Ans:(3√3)/2
: 謝謝!
sinA + sinB + sinC
A + B A - B
= 2 sin ──── cos ──── + sinC
2 2
A + B
≦ 2 sin ──── + sinC
2 。
A + B = 180 - C
。 C
= 2 sin ( 90 - ── ) + sinC
2
C C C
= 2 cos ── + 2 sin ── cos ──
2 2 2
C C
= 2 cos ── ( 1 + sin ── )
2 2
C C
Let f(C) = 2 cos ── ( 1 + sin ── )
2 2
C C C C
then f'(C) = - sin ── ( 1 + sin ── ) + cos ── cos ──
2 2 2 2
C 2 C C 2
= - ( sin ── ) - sin ── + [ 1 - ( sin ── ) ]
2 2 2
C 2 C
= - 2 ( sin ── ) - sin ── + 1
2 2
When f'(C) = 0.
C 2 C
=> 2 ( sin ── ) + sin ── - 1 = 0
2 2
C -1 ±√( 1 + 4*2*1 ) 1
=> sin ── = ──────────── = ── or -1 ( -1 不合 )
2 2*2 2
。
=> C = 60
。
∴ When C = 60 ,
。 。
60 60 √3 3 3√3
f(C) = 2 cos ── ( 1 + sin ── ) = 2 * ─── * ── = ───
2 2 2 2 2
3√3 3√3
Hence sinA + sinB + sinC ≦ ─── , M = ───
2 2 #
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◆ From: 114.47.107.142
推
02/01 19:38, , 1F
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推
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02/02 15:22, , 3F
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02/02 21:48, , 4F
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討論串 (同標題文章)