[微積] 變分法

看板Math作者rachel5566 (rachel5566)時間13年前 (2011/01/16 00:11)推噓2(2推 0噓 2→)

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一個圓錐 x^2 + y^2 = (z/c)^2，z≧0 用變分法找出在錐面上兩點間的最短距離我的做法: x = ρcosψ，y = ρsinψ，z = cρ，ρ = x^2 + y^2 => dx = (dρ)cosψ-ρsinψ(dψ) dy = (dρ)sinψ+ρcosψ(dψ) dz = c(dρ) => ds = sqrt[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2] = sqrt[(dρ)^2+ρ^2(dψ)^2+c^2(dρ)^2] = sqrt[(1+c^2)(dρ)^2+ρ^2(dψ)^2] = sqrt[(1+c^2)+ρ^2(dψ/dρ)^2](dρ) Define sqrt[(1+c^2)+ρ^2(dψ/dρ)^2] = f，dψ/dρ = ψ' => S = ∫ ds = ∫sqrt[(1+c^2)+ρ^2(dψ/dρ)^2](dρ) C use Euler's equation: δ partial differential operator δf d ┌ δf ┐ δf ── - ──│───│ = 0 ∵ ── = 0 δψ dρ └ δψ'┘ δψ δf ρ^2(ψ') => ─── = constant = a = ─────────────── δψ' [(1+c^2)+ρ^2(ψ')^2]^(1/2) => ψ(ρ) = ......... 解出來的軌跡看起來很複雜但是在直覺上，最短軌跡在把圓錐攤開之後，軌跡應該為直線而求得的解看起來卻不是這麼一回事請問我哪裡算錯了嗎? 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.211.87 ※ 編輯: rachel5566 來自: 140.112.211.87 (01/16 00:15)

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